一道ＩＭＯ选拔赛试题的推广

林新建

题目(第37届IMO中国选拔赛试题)

以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D和E，过D、E分别作BC的垂线，垂足分别为F和G，线段DG、EF交于点M.求证：AM⊥BC.

本题结论可作如下推广：

性质1 如图1，以△ABC的边BC为长轴的椭圆交此三角形的另两边AB、AC于点E、F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点，EN与MF交于点D.则AD⊥BC.

证明：以边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设椭圆的方程为x²a2+y2b2=1(a>b>0)，则 有B(-a,0),C(a,0).

利用椭圆的参数方程，可设E(a玞osα,b玸inα),F(a玞osβ,b玸inβ),则点M、N的坐标分别为M(a玞osα,-b玸inα),N(a玞osβ,-b玸inβ),直线EN的方程为：y-b玸inα=b(玸inα+玸inβ)a(玞osα-玞osβ)•(x-a玞osα).令y=0,得xD=a玸in(α+β)玸inα+玸inβ.

另一方面，直线BE、CF的方程分别为y=b玸inαa(玞osα+1)(x+a),y=b玸inβa(玞osβ-1)(x-a).联立解得xA=a［玸in(β+α)+(玸inβ-玸inα)］玸in(β-α)+(玸inβ+玸inα).因为xD-xA的分子=a［玸in(β+α)玸in(β-α)-(玸in2β-玸in2α)］=a(玸in2β玞os2α-玞os2β玸in2α-玸in2β+玸in2α)=0,所以AD⊥BC.

性质2 如图2，以△ABC的边BC为实轴的双曲线交此三角形的另两边AB、AC的延长线于点E、F.设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点，EN与MF交于点D，则AD⊥BC.

证明：以边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设双曲线的方程为x²a2-y2b2=1(a>0,b>0)，则有B(-a,0),C(a,0).

利用双曲线的参数方程，可设E(a玸ecα,b玹anα),F(a玸ecβ,b玹anβ)，则点M、N的坐标分别为M(a玸ecα,-b玹anα),N(a玸ecβ,-b玹anβ),直线EN的方程为：y-b玹anα=b(玹anα+玹anβ)a(玸ecα-玸ecβ)(x-a玸ecα).令y=0，得xD=a(玸inα+玸inβ)玸in(α+β).另一方面，直线BE、CF的方程分别为y=b玹anαa(玸ecα+1)(x+a),y=b玹anβa(玸ecβ-1)(x-a).联立解得xA=-a［(玸inα+玸inβ)-玸in(α-β)］(玸inα-玸inβ)-玸in(α+β).因为xD-xA的分子=a［玸in2α-玸in2β-玸in(α+β)•玸in(α-β)］=a(玸in2α-玸in2β-玸in2α玞os2β+玞os2α玸in2β)=0，所以AD⊥BC.