数学新课程学习中提出数学问题的途径

徐玲芳

今年我市高考状元在接受记者采访时谈到：在数学学习中非常喜欢提出各种各样的数学问题来探究.提出数学问题的能力是学生创新意识和实践能力的重要体现，高中数学新课程注重 数学学习是一种再发现、再创造、再实践的学习过程.我们仔细分析我们身边的案例，不难发现“提出问题”可以调动学生已知的数学知识经验，促进学生积极思维，深化理解数学知识，引导学生展开丰富的联想，促使学生牢固掌握“数学双基”，同时创新能力和实践能力也能得到一定的发展.本文结合多年的教学以及学生提出问题的情况，谈谈提出数学问题的途径，以此指导学生“提出数学问题”的技巧，明确学生“问”的方向，创设“问”的氛围.

一、逆向思维产生问题

逆向思维就是有意识地去做与正向方向完全不同的探索，在逆向思维中追求数学的对称与和 谐，不仅体现数学美，而且促进数学双基的巩固，培养学生的数学探索能力.如原命题成立，问逆命题是否成立?即充分性和必要性的问题，同时进一步思考新的问题如果不成立，则应增加什么条件.在新课程必修2的立体几何章节中有10个定理，其实这10个定理中的5个是由另外的5个可以按这样的思维方式产生的.

案例1 等差数列{an}，前n项和为Sn，则Sn=n(a1+an)2,(n∈N*).

这是学生非常熟悉的等差数列前n项和公式.如果我们变换条件和结论，得到新的问题：“若数列{an}前n项和为Sn,且Sn=n(a1+an)2(n∈N*)，则数列{an}是等差数列吗?”

这种策略学生最容易掌握，且能激发学生的探索热情，当学生采用常规的方法解答时

∵Sn=n(a1+an)2,∴Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)2，两式相减得(n-2)an=(n-1)an-1-a1(其中n≥2)，从递推式中学生寄希望探索出an-an-1是常数，当然是学生良好的心愿，但此次探索出现暗礁，在学生的努力下转而寄希望2an=an+1+an-1，从而达到成功的彼岸.本次探索等差数列定义之深刻可谓是经典，值得回味.通过这样的一次自主探究过程，学生不但掌握了“提出问题”的策略，还进一步巩固了如何证明等差数列这一基本技能和等差数列基本概念，同时这些思维方式或数学技巧可以进一步推广到等比数列.

逆向思维方式同样可以用在数学解题中，比如在证明时顺推较难，逆推能否成立?直接不能，能否间接?等等.恰当的运用逆向思维可以得出很多绝妙的数学问题，可以出现“无心插柳柳成荫”，如果运用在解题过程中，可能会出现“柳暗花明又一村”.

二、挖掘教材中的例习题引申问题

引申教材中的例习题就是改变原来问题的非本质特征的表现形式，以突出其本质特征.这种策略方式有(1)把特殊数学问题一般化或一般数学问题特殊化；(2)将教材中的结论型问题改为开放型、探索型问题；(3)让学生变换、舍去、增加问题中的条件，提出相应的问题.教材中的例习题，由于其解题思路较为明朗，常不具备培养探索之功能，但只要教师或学生注意，运用恰当的思维策略，便会发现其潜在的探索功能，从而促使学生的数学双基巩固.

案例2 数列{an},a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,(n∈N*)，写出数列{an}的前5项.

这是一道很普通的写出数列前几项的习题，学生极其容易写出其前五项，若本题就此罢休，则将会失去培养学生探索能力的良机，启发学生再写五项能发现什么?(从第七项开始重复出现)，与周期函数相似，原来是周期数列，新问题、新概念由此产生，比如这样的问题：计算a2008,a1+a2+a3+…+a2007便是举手之劳.

在高中数学教学中教师可让学生变换、舍去、增加问题中的条件，提出相应的问题，这种策略学生容易掌握，且对于学生掌握概念的实质、理解问题很有帮助.例如在立体几何的许多定理中可以尝试删去“面内、面外、交线”等条件产生新问题，更好地理解概念、定理的本质特点.在讲解排列组合时可以更换相应的实际问题背景，以便突出排列组合实质，培养学生思维的发散性，促进双基的巩固.

三、追溯解题过程发现问题

数学解题应是一个反思性学习过程，精彩的问题往往来自对解答的不断反思.反思可以针对数学中的图形；针对数学解题中的某一步；针对数学解题中的思想方法，想想这样的思想方法在其他情况下如何运用；针对解题中的错误，比如按照错误的解法应对应怎么样的问题，从而提出新的问题.

1、在数形结合中发现问题

高中数学的数形结合思想在函数、向量、解析几何、立体几何中都得到淋漓尽致的体现.当在研究图形或画图的过程中，若稍微注意可能会产生新的问题.

案例3 (必修2立体几何P55练习)如果三个平面两两相交，则它们的交线有多少条?

学生在画图时，通过观察教室墙面与墙面的位置关系，发现交线只有三种情况，如果不交于一条直线只有两种情况，由此在定位交线时产生新的问题：(1)如果三个平面两两相交且不交于一条直线，则这三条交线的位置关系如何?如何证明.(2)三个平面把空间分成几部分?(4或6或7或8).

2、数学解题中遇障碍发现关键问题

在解题过程中有时分析链突然中断，思维受阻，无法建立新分析链陷入困境，这都是常有的事，但如何找到问题的关键才是师生应当关注的，在认知冲突中产生关键的问题.

案例4 (2006辽宁高考(文科)22题)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个动点， O是坐标原点，且向量OA撸琌B呗足|OA+OB遼=|OA -OB遼，设圆C的方程为x²+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)证明线段AB是圆C的直径；(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值.

学生由|OA+OB遼=|OA-OB遼，得到x1x2+y1y2=0，并求出圆心(x,y)的轨迹x=x1+x22=14p(y21+y22)=y2p-y1y22p，这时思路受阻，当群体想到条件x1x2+y1y2=0时，利用x1x2=y12y224p2,得出y1y2=-4p2，问题关键是没有充分利用条件y1y2=-4p2，经历了如此深刻的遇障过程，学生构造了以下的数学问题：

(1)抛物线y2=2px(p>0)，AB是过焦点的弦，求证y1y2,x1x2是定值.

(2)抛物线y2=2px(p>0)，AB是过对称轴上的一定点M(m,0)的弦，求证y1y2,x1x2是定值.

(3)抛物线y2=2px(p>0)，A，B是抛物线上两点，已知OA⊥OB，求证y1y2,x1x2分别是定值.

(4)抛物线y2=2px(p>0)，A，B是抛物线上两点，已知OA⊥OB，求证直线过定点(2p,0).

(5)抛物线y2=2px(p>0)，点A，B是抛物线上两点，点P是抛物线上的一定点，已知PA⊥PB，探究直线AB是否经过一定点.

另外学生对图形进行进一步研究，得到更多的数学问题，比如圆锥曲线中以AB为直径的圆与相应准线的关系.

3、在错误的解题过程中发现问题

在学生的数学学习中出现概念性、习惯性、遗漏性、过程性等类型的错误是不可避免的，解题错误并不可怕，如果能及时发现错误之处并由此及彼，从另一个角度来说比没有做错更好，这样给学生自己多了一次探究、发现、巩固的好机会，从而使数学知识结构更趋于完整、严密.

案例5 (必修2)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA垂直于底面ABCD，请找出四棱锥中几对线面垂直关系.

许多学生说AB⊥平面PBC，有的学生表示不同意，在群体的努力下把四棱锥补成长方体从而充分肯定这一结论的错误.这一错误的否定过程中，使学生的空间想象能力有了一定的提高，同时注意到立体几何的线面关系必须以定理为依据，同时学生收获最大的是明白学习立体几何可以以长方体等常见几何体为载体，这是同学们的深刻体会，这和教师直接告诉学生：“立体几何要以长方体等常见几何体为载体”的效果会截然不同.并借此机会同学们研究了更多的新问题.例如(1)三棱锥三对对棱长分别为a,b,c，求此三棱锥的体积.(2)过三棱锥的 一个顶点的三个顶角都为直角，则顶点在底面的射影是底面的什么心?底面是什么三角形?(3 )三棱锥的两对对棱垂直，则第三对对棱所成角是多少?(4)三棱锥的四个面中最多有几个直 角三角形?这些都可以在长方体或正方体中得以理解和解答.教学实践表明：如果学生在平时 学习中重视对错题这一环节的及时发现和总结得失，对发现问题能力的培养和数学双基有举 足轻重作用.

四、类比联系提出问题

类比联系是学生学习中必须掌握的一种提出问题的能力.学生有较强的机械记忆能力，若没有类比联系的提出问题和解决问题，也就是把数学问题局限于“自身”的小圈子里，知识是不能运用自如的，很难找到解决问题的钥匙和途径，但如果展开联想的翅膀，与其他知识联系起来进行类比，就能发现更多的问题，进而找到解决问题的突破口，其实在高中数学的各个模块中知识的类同是很常见的.

案例6 必修1的初等函数模块(除指数函数对数函数外)有以下常见的函数：y=ax+b,y=ax²+bx+c,y=ax+bcx+d,y=ax+bcx²+dx+e.

在学习必修4的三角函数时，可以让学生类比必修1的函数类型构造三角函数类型，如y=a玸in玿+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os2x+c玸in玿玞os玿,y=a(玸in玿±玞os玿)+b玸in玿玞os玿,y=a玸in玿+bc玞os玿+d,y=玸in玿+ab玸in2x+c玸in玿+d，……，同样在学习必修5的数列递推式时构造出以下类型的问题：an+1=can+d,(n+1)a2n+1-na2n+an+1猘n=0,an+1=ca2n,an+1=ban+cdan+e等.

五、归纳推测扩充问题

有的问题可以经过归纳推测而提出来，同时学生通过归纳推测达到真正理解知识和概念，整理了平时零碎的知识点.教师可以在课堂教学中借助反思、小结等机会，培养学生从不同的单元、章节、学科识别模式、变换化归提出问题.比如在立体几何教学中学生用这一策略联系平面几何等归纳推测出许多类似的立体几何问题，对知识作一个扩充.

案例7 判断以下命题是否正确，若正确请证明，若不正确请说明理由.

1.过异面直线a,b中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行.

2.过异面直线a,b中的一条，有且只有一个平面与另一条直线垂直.

教师可以放手让学生归纳猜测与异面直线a,b有关的命题，从而得出下面的结论：

3.直线c,d与异面直线a,b都相交，则直线c,d是异面直线.

4.过异面直线a,b外一点O，有且只有一个平面与直线a,b都平行.

5.过异面直线a,b外一点O，有且只有一个平面与直线a,b都垂直.

6.过异面直线a,b外一点O，有且只有一条直线与直线a,b都平行.

7.过异面直线a,b外一点O，有且只有一条直线与直线a,b都垂直.

7.过异面直线a,b外一点O，有且只有一条直线与直线a、直线b都是异面直线.

若以上命题中的“过异面直线a,b外一点O”全改为“空间中”例如命题“空间中有无数个平面与异面直线a,b都平行.”

六、从生活中感受数学应用问题

应用问题与社会实践和社会生活紧密联系，学生的应用意识培养，应用能力的提高不是简单地靠高三数学总复习的强化训练，应用问题的解决需要扎实的数学基础知识外，还要有较强的阅读能力、建模能力和较好的心理素质，这种能力无法在短期内培养和提高，因此应用数学要贯彻在学习数学的始终，日常生活中多用数学的眼光看待现实问题，比如银行中的储蓄和复利、环保、成本、利润、房购、网络等问题，用对应、函数的观点去看待生活中的购物等，用最优、最省、最大、最小等观点思考并提出生活中的问题，教师应教会学生如何识别哪些条件应摒弃，哪些需要理想化，如何从不同角度提出不同的问题.

对于每一个学生而言，学会提出问题是学好数学的需要，因此，培养学生提出问题的能力，可以让学生深刻理解数学基础知识，发展解决数学问题的能力.学生在“创新”意识的指导下，多方面、多角度地去考虑问题、探索问题、变换问题和提出问题，是对数学知识的一种最佳组合，是一种很好的促使数学双基的学习方式.