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平面几何中一个结论的应用与推广

2008-10-15韦文彬

中学理科·综合版 2008年9期
关键词:等腰三角矩形四边形

韦文彬

理论的研究固然是重要的,而研究的最终目标就是要创新,使已得出的结论变成解决问题的便捷依据.下面就用“等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和恒等于一腰上的高”这个结论来解相关的问题.

一、常见解法与应用结论解法的比较

【例1】 已知如图1-1,E为矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P为对角线BD上一点,PF⊥BE于F,PG⊥AD于G,求证:PF+PG=AB.

分析:要证AB=PF+PG,可利用截长补短的方法,如过P作PH⊥AB于H,得矩形AHPG,有AH=PG,只需证BH=PF,即证△BPH与△PBF全等.

证明:过P作PH⊥AB于H,则四边形AHPG为矩形.

∴AH=GP,PH//AD ∴∠ADB=∠HPB.

∵BE=DE ∴∠EBD=∠ADB.

∴∠HPB=∠EBD.

又∵∠PFB=∠BHP=90°,∴△PFB≌△BHP,

∴HB=FP.

∴AH+HB=PG+PF,即AB=PG+PF.

除以上方法外,还有以下思考:

1.过点A作MA//BD交PG的延长线于M,则四边形ABPM为平行四边形,由作法易知AM=BP,则△AMG≌△BPF,有PF=MG,也能使PG+PF=AB得证.

2.如果连结EP,利用S△BDE=S△BEP+S△DEP的关系,也得PG+PF=AB的结果.

3.过G作GI//BD交AB于I,得平行四边形BPGI,则有GP=BI,BP=IG,再证△AIG≌△FPB,也能使PG+PF=AB得证.

以上属常规证法.

以下是用结论关系证明:

分析:由已知条件BE=ED,PF⊥BE于F,PG⊥AD于G,且△EBD位于矩形ABCD中,易知,题目已具备了结论的条件(等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和恒等于一腰上的高).只需按关系推理就可以得出结果.

证明:由图1-2可知:

∵BE=ED,∴△EBD为等腰三角形,点P为BD上一点,

PF⊥BE,PG⊥AD,

又∵四边形ABCD为矩形,AB⊥AD,AB是三角形EBD

的ED边上的高.

∴PF+PG=AB,即AB=PF+PG.

二、结论的应用

【例2】 如图2所示,P是边长为2的正方形ABCD边CD上的任一点,且PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为E、F,则PE+PF=________.

分析:易见△DOC为直角等腰三角形,PE和PF为P到两腰的距离,易知:PE+PF=OC,所以只要求出OC就可以了.

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