平面几何中一个结论的应用与推广

韦文彬

理论的研究固然是重要的，而研究的最终目标就是要创新，使已得出的结论变成解决问题的便捷依据．下面就用“等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和恒等于一腰上的高”这个结论来解相关的问题.

一、常见解法与应用结论解法的比较

【例1】 已知如图1-1，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G，求证：PF+PG=AB．

分析：要证AB=PF+PG，可利用截长补短的方法，如过P作PH⊥AB于H，得矩形AHPG，有AH=PG，只需证BH=PF，即证△BPH与△PBF全等．

证明：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形．

∴AH=GP，PH//AD ∴∠ADB=∠HPB.

∵BE=DE ∴∠EBD=∠ADB.

∴∠HPB=∠EBD.

又∵∠PFB=∠BHP=90°，∴△PFB≌△BHP，

∴HB=FP.

∴AH+HB=PG+PF，即AB=PG+PF.

除以上方法外，还有以下思考：

1.过点A作MA//BD交PG的延长线于M，则四边形ABPM为平行四边形，由作法易知AM=BP，则△AMG≌△BPF，有PF=MG，也能使PG+PF=AB得证．

2.如果连结EP，利用S△BDE=S△BEP+S△DEP的关系，也得PG+PF=AB的结果．

3.过G作GI//BD交AB于I，得平行四边形BPGI，则有GP=BI，BP=IG，再证△AIG≌△FPB，也能使PG+PF=AB得证．

以上属常规证法．

以下是用结论关系证明：

分析：由已知条件BE=ED，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G，且△EBD位于矩形ABCD中，易知，题目已具备了结论的条件（等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和恒等于一腰上的高）．只需按关系推理就可以得出结果．

证明：由图1-2可知：

∵BE=ED，∴△EBD为等腰三角形，点P为BD上一点，

PF⊥BE，PG⊥AD，

又∵四边形ABCD为矩形，AB⊥AD，AB是三角形EBD

的ED边上的高．

∴PF+PG=AB，即AB=PF+PG．

二、结论的应用

【例2】 如图2所示，P是边长为2的正方形ABCD边CD上的任一点，且PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，则PE+PF=________．

分析：易见△DOC为直角等腰三角形，PE和PF为P到两腰的距离，易知：PE+PF=OC，所以只要求出OC就可以了．