化斜为直用勾股

李厚明　陈伯平

勾股定理是直角三角形中特有的定理.它的应用非常广泛,是几何中最重要的计算依据之一.尤其是在新的课程标准下,原有的计算公式及定理少了许多,所以不少问题都要靠勾股定理来解决.对于斜三角形,我们不能直接用它来解决问题,这时就需化斜为直,具体说就是用作高来构造直角三角形.这方面的例子很多,复习中尤其要重视.下面举例加以讲解.

例1 等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求AC边上的高.

分析:等腰三角形最重要的性质是“三线合一”,所以我们可以作底边上的高,求出三角形的面积,再用面积公式求AC边上的高.也可以直接作AC边上的高,利用方程求解.

解法1:过A作AD⊥BC,垂足为D.如图1.

由AB=AC和AD⊥BC知,点D是BC的中点,所以BD=CD=6.

在Rt△ABD中,

AD===8.

设AC边上的高为h,则

S△ABC =BC·AD =AC·h.

代入数据可求得h=9.6,即为所求.

解法2:过点B作BD⊥AC,垂足为D.如图2.

设CD=x ,则AD=10-x.

在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2.

同理,BD2=BC2-CD2.

从而得到方程 :102-(10-x)2=122-x2.

解之,得x=7.2.

所以BD==9.6,即为所求.

点评:解法1,间接求高,巧妙地利用了等腰三角形的性质以及面积公式,运算简单;解法2,直接作高,但由于高不能直接求得,我们可用列方程的方法,先求CD,再用勾股定理求高,思路简单,但运算较复杂.这两种方法在解题中均经常使用,应给予重视.

例2 △ABC中,AB=10,AC=8,∠A=60°,求边BC的长.

分析:由于∠A=60°,AB=10,我们可考虑作AC边上的高BD,求出AD､BD,再求出CD,最后利用勾股定理求BC.

解:如图3,过点B作BD⊥AC,垂足为D.

在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠A=60°,

∴∠ABD=30°.

∴AD=AB=5,CD=3.

在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-52=75.

同理,BC2=BD2+CD2.

∴BC2=75+9=84.

∴BC==2.

点评:若三角形中有60°､30°或45°的角,但无直角,我们通常都是作高,把这些角放到直角三角形中去.这样可以利用有关的特殊性质(如等腰､直角边是斜边的一半等)去解决问题.

例3 如图4,△ABC中,∠B=2∠C.求证:AC2-AB2=AB·BC.

分析:显然,我们要构造直角三角形,才能得出求证式左边的形式.由此我们可以作BC边上的高AD,关键是∠B=2∠C这个条件怎样利用.联想到等腰三角形的“三线合一”,我们可在DC上截取DP=BD,这样可以利用∠B=2∠C,证得AP=CP.

证明:如图5,过A作AD⊥BC,垂足为D.在DC上截取DP=BD,连接AP.

∴∠ADB=∠ADC=90°, AB=AP.

∴∠B=∠APB=2∠C.

∵∠APB=∠PAC +∠C,

∴∠C=∠PAC.

∴AP= CP.

在Rt△ACD中,

AC2=CD2 +AD2. ①

同理,AB2=BD2 +AD2. ②

① - ②得:AC2-AB2=CD2- BD2.

而CD2-BD2=(CD-BD)(CD+BD)=(CD-BD)·BC=(CP+DP-BD)·BC=CP·BC,

∴AC2-AB2=CP·BC.

∵CP=AP= AB,

∴AC2-AB2=AB·BC.

点评:本题实质上是利用高线构造了一对成轴对称的三角形,而这种作辅助线的方法(作AD､AP),也是解“α =2 β”型问题的常用方法.解题关键是边的等量代换.应用代数方法化平方差为乘积式,也是本题的一大亮点.

总之,把斜三角形转化为直角三角形,再运用勾股定理,是斜三角形问题最常见也是最重要的解题思路.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文