巧用勾股定理解题

黄海东

勾股定理及其逆定理是几何和代数的联系纽带之一.在以后学习到的几何计算及几何证明中，常要利用勾股定理列出方程或方程组来解决问题.本文着重对有关的解题技巧作一些阐述，供读者参考.

有些题目固然能直接应用勾股定理求出某些线段长或列出等式，但离求解的目标还有一定的距离，这时，往往需要与其他数学知识的联用.

例1直角三角形一条直角边的长为11，另外两条边的长均为自然数，则该直角三角形的周长为（）.

A. 121 B. 122C. 132D. 144

分析：本题条件不多，解这类题可利用整数的性质及分解因式，列出方程组进行求解.

解：设斜边长为c，另一直角边长为b，则c2-b2=112=121.

故（c-b）（c+b）=121.因b、c均为自然数，c-b

所以周长为11+b+c=11+121=132，选C.

评析：本题也可求出b、c，再求周长.读者不妨思考一下已知的直角边长为合数（比如为12）的情形，得到的结果会有许多种，也比较有趣.

在翻折问题中，通常是利用图形翻折的性质（如翻折后有关线段的长度不变，一些角相等等），由勾股定理列出方程，求出有关的量.

例2如图1，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交 AD于点E.已知AD=8，AB=4.求△BDE的面积.

分析：利用翻折图形的对应角相等，对应边相等，得到△BDE为等腰三角形，CD=C′D，从而AE=C′E.要求S△BDE，只要求出BE即可.因此设BE=x，则C′E=8-x，由勾股定理可列出方程，从而使问题得到解决.

解：由题意得C′D=CD=AB=4，C′B=CB=AD=8，∠C′BD=∠CBD=∠ADB.

∴△BDE为等腰三角形，BE=DE.

设BE=x，则C′E=8-x，DE=x.

在Rt△DEC′中，由勾股定理得（8-x）2+42=x2.

解之得x=5.所以S△BDE= BE·C′D=10.

评析：翻折问题中，总是有不少相等的边和角，也有全等的三角形.解题时一定要先找出这些关系.

例3如图2，矩形ABCD中，AB=3，BC=9 .将矩形沿EF翻折，使点B落在点D处，A点落在A′处.求BF的长.

分析：由图形翻折的性质，得到AE=A′E.设AE=x，则DE=9-x.在Rt△A′DE中，可用勾股定理列出方程，然后加以解决.

解：由题意得AE=A′E，A′D=AB=3，∠DFE=∠BFE=∠DEF.

∴△DEF为等腰三角形，DE=DF=BF.

设AE=x，则DE=9-x.在Rt△A′DE中，x2+32=（9-x）2.解之得x=4.

∴BF=DE=9-4=5.

评析：矩形的折叠问题中，通过两边平行可得到等腰三角形，如例2中的△BDE和本例中的△DEF.一定要注意这个特点.

有些题目中虽然没有可利用的直角三角形，但探求的结论与勾股定理的形式相似，可通过条件的转化，构造直角三角形解决问题.

例4如图3，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点.DE、DF分别交AC、BC于E、F，DE⊥DF.求证：AE2+BF2=EF2.

分析：虽然 AE、BF、EF不在同一个三角形中，但从结论可以看出，只要把这三条线段集中到某个直角三角形中，问题即可得到解决.

证明：如图4，延长ED至P，使DP=ED，连BP，则△ADE≌△BDP（SAS）.AE=BP，∠A=∠DBP.

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠FBP=∠DBP+∠ABC=90°.

连接FP.在Rt△FBP中，BP2+BF2=FP2.故AE2+BF2=FP2.

∵FD为EP的中垂线，∴FP=FE.AE2+BF2=EF2.

评析：当问题中有中线或过中点的线段时，通常会将其延长一倍，以构造全等三角形.

练习 1. 如图5 ，四边形ABCD中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°.AB=2，CD=1. 求BC和AD的长.

提示：延长BC、AD交于点E.∠E=30°.AE=2AB=4.同理CE=2CD=2.在Rt△ABE中，BE2=AE2-AB2=12，BE=2 ；在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=3，DE= .

２. 如图6，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°.D是AB边上一点.求证：（1）△ACE≌△BCD.（2）AD2+AE2=DE2.

提示：（1）利用SAS.（2）易知∠BAC=45°，又由（1）知∠EAC=∠B=45°.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文