有理数的乘除法导学

李　青

我们知道，工程人员会在某些河流定期进行水文观测，以确定水位的变化及水环境的变化.

在水文观测中，常会有水位上升和下降的问题. 现在有这样四个问题：

1. 如果水位每天上升3cm，那么5天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？

2. 如果水位每天上升3cm，那么5天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？

3. 如果水位每天下降3cm，那么5天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？

4. 如果水位每天下降3cm，那么5天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？

我们将水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负.上面几个问题就可以分别列式：

1. （+3）×（+5）=+15（cm）；

2. （+3）×（-5）=-15（cm）；

3. （-3）×（+5）=-15（cm）；

4. （-3）×（-5）=+15（cm）.

我们还可以类似地表示出1天后、2天后、3天后、1天前、2天前、3天前以及今天与今天相比水位变化的算式：

（+3）×（+1）=+3（cm），（-3）×（+1）=-3（cm）；

（+3）×（+2）=+6（cm），（-3）×（+2）=-6（cm）；

（+3）×（+3）=+9（cm），（-3）×（+3）=-9（cm）；

（+3）×0=0（cm），（-3）×0=0（cm）；

（+3）×（-1）=-3（cm），（-3）×（-1）=+3（cm）；

（+3）×（-2）=-6（cm），（-3）×（-2）=+6（cm）；

（+3）×（-3）=-9（cm），（-3）×（-3）=+9（cm）.

这就是有理数的乘法，根据上面算式的运算规律，我们可以总结出与课本中一样的乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘都得0.

小学时我们就学过算几个正数的平均数.如果某地2月份某一周晚上20：00的气温（℃）分别是-3，-2，-4，-4，-2，0，1，那么该地这一周晚上20：00的平均气温（℃）就是［（-3）+（-2）+（-4）+（-4）+（-2）+0+1］÷ 7=（-14）÷7.

怎么计算（-14）÷7的值呢？这就是有理数的除法运算了.

小学时我们知道，除法是乘法的逆运算，那我们就可以将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算.因此，由（-2）×7=-14，我们就可以得到（-14）÷7=-2.另一方面，我们知道（-14）×=-2，所以就可得到等式（-14）÷7=（-14）×.

由此我们推出有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

在学习有理数的乘除法时，一定要体会数学中的转化思想，将新的问题转化为我们已经解决的问题.

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