九问无理数

孙　虹

１． 为什么要研究无理数？

答：从有理数到无理数，是数的范围的一次重要扩充．如果只有有理数，一些简单的几何图形都无法研究．例如，我们将无法表示出边长为１的正方形的对角线长、圆的周长和面积，甚至连简单的方程ｘ２ ＝ ２都无法求解．

２． 无理数与有理数有什么区别？

答：主要区别有两点．一是把无理数与有理数都写成小数形式时，无理数只能写成无限不循环小数．根据这一点，数学家把无理数定义为“无限不循环小数”；而有理数能写成有限小数或无限循环小数．比如 ＝１．４１４ ２…，?仔 ＝ ３．１４１ ５９２ ６…．二是所有的无理数都不能写成两个整数之比，而所有的有理数却都可以写成两个整数之比．根据这一点，数学家把无理数叫做“非比数”，而把有理数叫做“比数”．因此所有的有理数都可以表示成分数的形式，而无理数则不能．这里分数的分子与分母都是整数，且分母不能是０．

３． 怎样把一个无限循环小数化成分数？

答：下面给同学们介绍一种简单的方法．

设ｘ ＝ ０．３６３ ６…，则１００ｘ ＝ ３６．３６３ ６…（一个循环节有２个数字乘１００，有３个数字就要乘１ ０００，…）．后式减去前式，得９９ｘ ＝ ３６．所以ｘ ＝，即０．３６３ ６… ＝．

４． 无理数是不是包括正无理数、０、负无理数？

答：由于受到思维定势的影响，有些学生错误地认为正无理数和负无理数之间应有０，殊不知０是有理数，而不是无理数．因此，关于无理数的分类，只有正无理数和负无理数两类．

５． 带根号的数都是无理数吗？

答： 其实就是有理数２， 也是有理数２，可见带根号的数不一定是无理数．当然，带根号的数有许许多多都是无理数，例如 、 、 、 等．它们都有一个共同的特点，那就是开方开不尽．

６． 无理数都是用根号形式来表示的数吗？

答：圆周率π是无理数，但它并不是用根号形式表示的；又比如０．１０１ ００１ ０００ １…（小数点后每两个１之间依次增加一个０）也是无理数，但它也是不带根号的无理数．

７． 无理数与有理数的乘积是无理数吗？

答：任何无理数与0相乘其积仍为0，故无理数与有理数之积不一定是无理数．但是无理数与有理数的和（或差）一定是无理数．

８． 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数吗？

答：两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．如（－ ）＋ ＝ ０， － ＝ ０，２ • ＝ ６， ＝ ２，这些计算结果都是有理数．

９． 数的范围从有理数扩充到实数以后，还有什么需要强调说明的？

答：（１）在实数范围内与在有理数范围内一样，可以规定一个数的相反数和绝对值，可以比较数的大小．这些与在有理数范围内的意义是一样的．

（２）有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立．

（３）在有理数范围内，总能进行四则运算和乘方运算，在实数范围内，不仅总可以进行四则运算和乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算．

（４）同学们在学习有理数时，知道有理数总可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数．引进无理数之后，有理数扩充到了实数，实数和数轴上的点是一一对应的．L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”