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九问无理数

2008-09-27

关键词:根号乘方实数

孙 虹

1. 为什么要研究无理数?

答:从有理数到无理数,是数的范围的一次重要扩充.如果只有有理数,一些简单的几何图形都无法研究.例如,我们将无法表示出边长为1的正方形的对角线长、圆的周长和面积,甚至连简单的方程x2 = 2都无法求解.

2. 无理数与有理数有什么区别?

答:主要区别有两点.一是把无理数与有理数都写成小数形式时,无理数只能写成无限不循环小数.根据这一点,数学家把无理数定义为“无限不循环小数”;而有理数能写成有限小数或无限循环小数.比如 =1.414 2…,?仔 = 3.141 592 6….二是所有的无理数都不能写成两个整数之比,而所有的有理数却都可以写成两个整数之比.根据这一点,数学家把无理数叫做“非比数”,而把有理数叫做“比数”.因此所有的有理数都可以表示成分数的形式,而无理数则不能.这里分数的分子与分母都是整数,且分母不能是0.

3. 怎样把一个无限循环小数化成分数?

答:下面给同学们介绍一种简单的方法.

设x = 0.363 6…,则100x = 36.363 6…(一个循环节有2个数字乘100,有3个数字就要乘1 000,…).后式减去前式,得99x = 36.所以x =,即0.363 6… =.

4. 无理数是不是包括正无理数、0、负无理数?

答:由于受到思维定势的影响,有些学生错误地认为正无理数和负无理数之间应有0,殊不知0是有理数,而不是无理数.因此,关于无理数的分类,只有正无理数和负无理数两类.

5. 带根号的数都是无理数吗?

答: 其实就是有理数2, 也是有理数2,可见带根号的数不一定是无理数.当然,带根号的数有许许多多都是无理数,例如 、 、 、 等.它们都有一个共同的特点,那就是开方开不尽.

6. 无理数都是用根号形式来表示的数吗?

答:圆周率π是无理数,但它并不是用根号形式表示的;又比如0.101 001 000 1…(小数点后每两个1之间依次增加一个0)也是无理数,但它也是不带根号的无理数.

7. 无理数与有理数的乘积是无理数吗?

答:任何无理数与0相乘其积仍为0,故无理数与有理数之积不一定是无理数.但是无理数与有理数的和(或差)一定是无理数.

8. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数吗?

答:两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.如(- )+ = 0, - = 0,2 • = 6, = 2,这些计算结果都是有理数.

9. 数的范围从有理数扩充到实数以后,还有什么需要强调说明的?

答:(1)在实数范围内与在有理数范围内一样,可以规定一个数的相反数和绝对值,可以比较数的大小.这些与在有理数范围内的意义是一样的.

(2)有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍然成立.

(3)在有理数范围内,总能进行四则运算和乘方运算,在实数范围内,不仅总可以进行四则运算和乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算.

(4)同学们在学习有理数时,知道有理数总可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定表示有理数.引进无理数之后,有理数扩充到了实数,实数和数轴上的点是一一对应的.L

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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