解读实数与数轴

朱元生

由于实际问题的需要引入了“无理数”，从而使数的范围从“有理数”扩充到“实数”，“实数”是初中数学重要的基础知识.

一、无理数的概念及表现类型

1. 无限不循环小数叫做无理数.

注意：无理数应满足的条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数.

2. 无理数的表现类型：

第一类：π型，如3π，2π?摇-?摇1，….第二类：根号型，如 ， ，….第三类：小数型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88….

二、有理数与无理数的主要区别

1. 有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.

2. 所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式.

三、实数概念及其分类

1. 有理数和无理数统称实数.

2. 实数的分类：

①按定义来分类：

实数有理数整数分数?摇有限小数或无限循环小数无理数 无限不循环小数

②按正、负数来分类：

实数正实数正有理数正无理数?摇0负实数负有理数负无理数?摇

注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数.

分类是一种重要的数学思想，分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏.

四、实数与数轴上的点的对应关系

实数与数轴上的点一一对应，即任何一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，反过来数轴上的每个点也都表示唯一的一个实数.

注意：任何两个实数之间都有无数多个有理数和无数多个无理数.

五、实数的有关性质

1. 相反数：实数a的相反数是?摇-?摇a，0的相反数是0.故若a与b互为相反数，则a?摇+?摇b?摇=?摇0；反之，若a + b?摇=?摇0，则a与b互为相反数.在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两侧，并且这两点到原点的距离相等.

2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

实数a的绝对值可表示为|a|?摇=?摇a（a?摇≥?摇0），- a（a?摇

在数轴上实数a的绝对值就是实数a所对应的点与原点的距离.

3. 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.若ab?摇=?摇1，则a，b互为倒数；反之，若a，b互为倒数，则ab?摇=?摇1.

注意：0没有倒数.

4. 实数大小比较.

任意两个实数都可以比较大小.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.

利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.

5. 实数的运算.

实数的运算法则、运算律和运算顺序都与有理数相同.注意：开方运算和乘方运算一样，都是第三级运算.即先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行；有括号先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

在实数运算中，遇到无理数并且需要求出结果的近似数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数进行计算，并按要求进行取舍.

六、科学记数法

无论一个正数N多么大或怎样小，都能表示成a?摇×?摇10n的形式，其中1?摇≤?摇a?摇＜?摇10，n是整数，这种

记数法称为科学记数法.

用科学记数法总能把一个正数写成只有一位整数位的数与10的整数指数幂的乘积的形式.当N?摇≥?摇1时，n等于N的整数位数减1；当0?摇＜?摇N?摇＜1时，n是一个负数，其绝对值等于N的第一个有效数字前面的0的个数（包括整数部分的一个0）.

七、数学思想

“实数”这一部分所体现的数学思想有：类比思想、转化思想、建模思想、分类讨论思想和数形结合思想.L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”