等腰三角形分类讨论新策略——从角着手

陈伯平

等腰三角形问题常需分情况讨论.按边讨论，这是较为常见的方法.下面举两个从角着手进行讨论的问题，以便读者能从中体会出等腰三角形考题的命题新趋势.

例1等腰△ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B．

分析：由于题中并未说明哪个角是顶角或底角，所以需分情况讨论.我们可以先用含∠B的代数式表示∠A，用内角和定理再求出∠C，然后再分别求出各种情况下的∠B．

解：设∠B=x.

∴∠A=2x-50°.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°-（2x-50°）-x=230°-3x.

当AB=AC时，有∠B=∠C，得x=230°-3x，解得x=57.5°.

当BA=BC时，有∠A=∠C，得2x-50°=230°-3x，解得x=56°.

当CA=CB时，有∠A=∠B，得2x-50°=x，解得x=50°.

综上所述，∠B为57.5°或56°或50°．

点评：本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的代数式来表示，再根据三角形顶角、底角的情况进行分类讨论．分类讨论时，并不一定只有两种情况.

例2△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形.请探求∠ABC与∠C之间的关系．

分析：由于只知道过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，所以需要对两个三角形分别分类讨论.而每个三角形都有三种“等腰”的情况（每两边相等），故两个三角形结合起来就有9种情况，但根据题目的具体要求，可把不合题意的排除掉.每一种情况中，要用含∠ABC或∠C的代数式表示三角形的其他的内角.要重视“等腰三角形两个底角相等”性质的应用，化简后即得所求的关系.

解：设∠C=x，∠ABC=y，过点B的直线交AC边于点D．在△DBC中：

（1）若∠C是顶角，如图1，则∠CDB<90°，故∠ADB>90°.

∠CBD=∠CDB=1/2（180°-x）=90°-1/2x.

∠A=180°-x-y．

对△ABD来说，此时只能有∠A=∠ABD，故180°-x-y=y-90°-1/2x.

∴3x+4y=540°.∠ABC=135°-1/2∠C．

（2）若∠C是底角，则有两种情况．

（ⅰ）如图2，当DB=DC时，则∠CBD=∠C=x.

△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．

①若AB=AD，得∠ADB=∠ABD，2x=y-x，此时有y=3x，故∠ABC=3∠C．

②若BA=BD，得∠A=∠ADB，180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，故∠ABC=180°-3∠C．

③若DA=DB，得∠A=∠ABD，180°-x-y=y-x，此时y=90°，故∠ABC=90°.∠C为不大于45°的任意锐角（因∠C是最小的内角）．

（ⅱ）如图3，当BD=BC时，∠BDC=∠C=x<90°，故∠ADB=180°-x>90°，此时只能有AD=BD.从而∠A=∠ABD=1/2∠BDC=1/2∠C<∠C.

这与题设中的∠C是最小内角矛盾．

∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．

点评：本题是由无锡市2007年中考题的最后一题改编过来的，重点考查三角形内角和定理、等腰三角形的两底角相等、等腰三角形的分类讨论等.事实上，同学们在做这道题时往往漏解，同时也有同学没发现题中有两大类存在∠ADB>90°的事实（能减小分类的数目），甚至因情况太多而没耐心做下去.分类讨论中，把不合题意的情形舍弃掉，是这道题给我们最大的启示.