等腰三角形“多解”问题集锦

任晓金

等腰三角形是一种特殊的三角形，除具有一般三角形的性质外，还具有独特的性质，即两底角相等，两腰相等.正是由于它的特殊性质，解答等腰三角形问题时易产生漏解现象.尤其当题目中没有给出具体图形时，更应谨慎解题.现分类举例说明.

一 角不明确时要分类讨论

例1如果等腰三角形的一个角为50°，那么其他两角的大小分别为__.

解析：当50°的角为顶角时，则每个底角的大小为：1/2（180°-50°）=65°.

当50°的角为底角时，另一个底角也为50°，则其顶角的大小为：180°-2×50°=80°.

故答案应为65°，65°或50°，80°.

评注：在等腰三角形中，如果给定一个角的度数，求其他两角的度数，求解时要按顶角或底角进行分类讨论.

二 边不明确时要分类讨论

例2等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为4 cm，则它的周长为___.

解析：当腰长为5 cm，底边长为4 cm时，则其周长为：5+5+4=14（cm）.

当底边长为5 cm，腰长为4 cm时，则其周长为：5+4+4=13（cm）.

故答案为14 cm或13 cm.

评注：在等腰三角形中，如果给定两边的长，但没有明确哪个为腰长哪个为底边长，则求解时要按腰或底边进行分类讨论.

三 高不明确时要分类讨论

例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形顶角的大小为（）.

A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°

解析：因为锐角三角形的高在三角形的内部，而钝角三角形的高可能在三角形的外部，所以本题应分两种情况求解.

（1）锐角三角形.如图1所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的内角和为180°，则

∠A=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

（2）钝角三角形.如图2所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的内角和为180°，则

∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

所以∠BAC=180°-∠BAD=120°.

故应选D.

评注：由于等腰三角形腰上的高可在等腰三角形内部，也可在等腰三角形外部，因此当等腰三角形腰上的高没有明确在三角形内部或外部时，应分类讨论.

四 其化情况的分类讨论

例4等腰三角形底边长为6，一腰上的中线把其周长分成两部分，两部分的差为2，则其腰长为（）.

A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 以上都不对

解析：如图3，等腰△ABC中，AB=AC，腰AC上的中线BD把周长分成两部分，两部分的差为2.若设腰长AB=AC=x，则AD=DC=1/2x.

当（AB+AD）-（BC+DC）=2时，即x+1/2x-6+1/2x=2，则x=8；

当（BC+DC）-（AB+AD）=2时，即6+1/2x-x+1/2x=2，则x=4.

所以腰长为8或4.故应选C.

温馨提示：等腰三角形的两解必须满足“三角形的内角和等于180°”和“三角形两边的和大于第三边”这些条件.请思考如下问题：

1. 如果等腰三角形的一个角为120°，那么其他两角的大小分别为___.（答案：30°，30°）

2. 等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为__.（答案：22 cm）