构造等腰三角形证题

2008-09-27庞如兰

中学生数理化·八年级数学人教版 2008年7期

关键词：易知延长线辅助线

庞如兰

等腰三角形是初中几何中的重要内容之一.借助等腰三角形的判定和性质，我们可以很方便地解决不少问题.当题目中没有明确给出等腰三角形时，我们可以通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题.下面举例说明如何作辅助线构造等腰三角形.

1. 角平分线+平行线

例1如图1，在等腰△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线.求证：AD+BD=BC.

证明：∵AB=AC，∠A=100°，

∴∠ABC=∠C=40°.

如图2，在BC上截取BG=BD，则△BGD为等腰三角形，

∴∠BGD=∠BDG=1/2（180°-∠DBG）=1/2(180°-1/2∠ABC)=80°.

故∠CGD=100°.而∠C=40°，故∠CDG=40°.

过D作DE∥BC交AB于E，

∴∠BDE=∠DBG=∠DBE，DE=BE.

由平行线性质易知△AED是等腰三角形（且三个角为100°，40°，40°），AE=AD.

所以BE=CD.所以DE=CD.

∴△AED≌△GCD（AAS）.GC=AE=AD.

∴BC=BG+GC=BD+AD.证毕.

点评：过角平分线作一边的平行线可以构造出等腰三角形.在本题中，△BED是一个基本图形，在以后的学习中会经常用到.当题目中出现角平分线时，通过作辅助线构造等腰三角形是解决问题的一种常用方法.本题还可以这样来证：延长BD到E，使DE=DA，连接EC.只要证明△BCE等腰即可.在BC上取一点F，使BF=BA.连接DF.易证△ABD≌△FBD（SAS）.DF=DA=DE.经计算知∠FDC=∠EDC=60°.故△DEC≌△DFC（SAS）.故∠ECF=2∠DCF=80°.又∠EBC=20°，故△BCE是等腰三角形.

2. 角平分线+垂线

例2如图3，P为△ABC的∠A平分线AM上一点，且AB>AC.求证：AB-AC>PB-PC.

证明：作CF⊥AM交AB于D点，垂足为F点.如图4.

易知△ACF≌△ADF（ASA）.

连接PD，AF可视为DC的中垂线，则PD=PC.

∴AB-AC=AB-AD=DB.

又PB-PC=PB-PD，在△BPD中，DB>PB-PD，

∴AB-AC>PB-PC.

点评：由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线三线合一，因此过角的一边上的点作角平分线的垂线，就可以得到等腰三角形，从而增加题目条件，找到解题突破口.

3. 线段垂直平分线+点

例3如图5，O是△ABC中AB、AC两边中垂线的交点．求证：∠BOC=2∠A.

证明：连接OA，如图6，则OA=OB=OC.

∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OAC=∠OCA.

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-（∠ABC-∠OBA）-（∠ACB-∠OCA）

=180°-∠ABC-∠ACB+∠OBA+∠OCA

=∠BAC+∠OAB+∠OAC=2∠BAC.

点评：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此，从线段垂直平分线上任选一点（非线段上的点），与线段的两个端点连接，就构成了等腰三角形.

4. 等腰三角形+平行线

例4如图7，等边△ABC的边长为a.在BC的延长线上取一点D，使CD=b.在BA的延长线上取一点E，使AE=a+b.求证：EC=ED.

证明：如图8，过E作EF∥AC交BC的延长线于F.

∴∠F=∠ACB，∠BEF=∠BAC，故△BEF也是等边三角形.

∴BF=BE=a+a+b=2a+b，DF=BF-BD=2a+b-（a+b）=a.

在△EBC和△EFD中，EB=EF，BC=DF=a，∠B=∠F=60°，

∴△EBC≌△EFD，EC=ED.

点评：作等腰（边）三角形一边的平行线与另外两边或延长线相交，所构成的三角形依然是等腰（边）三角形.另一方面，对等腰三角形腰或其延长线上的一点P，若在另一腰或其延长线上找出另一点Q，使Q到顶角顶点A的距离与P到A点的距离相等，则PQ平行或重合于等腰三角形的底边，且△APQ等腰.这是一个很重要的性质，在例1中也有体现.

5. 外角=2×内角

例5如图9，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠A的平分线.求证：AC=AB+BD.

证明：∵∠B=2∠C>∠C，∴AC>AB.