例谈分解因式的方法与技巧

朱元生

分解因式是一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具．分解因式是中考和数学竞赛中比较常见的题型.对于特殊的分解因式，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力.现将分解因式中几种比较常用的方法与技巧列举如下，供同学们参考.

一、巧拆项

在某些多项式的分解因式过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解.

例1 分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3．

解析：根据多项式的特点，把3拆成4＋（－1），则：

原式＝a2－b2＋4a＋2b＋4－1

＝（a2＋4a＋4）－（b2－2b＋1）

＝（a＋2）2－（b－1）2

＝（a＋b＋1）（a－b＋3）．

二、巧添项

在某些多项式的分解因式过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可出奇制胜.

例2 分解因式：x4＋4y4．

解析：根据多项式的特点，在x4＋4y4中添上4x2y2，－4x2y2两项，则：

原式＝（x4＋4x2y2＋4y4）－4x2y2

＝（x2＋2y2）2－（2xy）2

＝（x2＋2xy＋2y2）（x2－2xy＋2y2）．

三、巧换元

在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解.

例3 分解因式：（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2.

解析：设x＋y＝m，xy＝n，则：

原式＝（m－2n）（m－2）＋（n－1）2

＝m2－2mn＋n2－2m＋2n＋1

＝（m－n）2－2（m－n）＋1

＝（m－n－1）2

＝（x＋y－xy－1）2

＝（x－1）2（y－1）2．

四、展开巧组合

若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重组合，然后再用基本方法分解，使问题巧妙得解.

例4 分解因式： mn（x2＋y2）＋xy（m2＋n2）．

解析：将多项式展开再重新组合，则：

原式＝mnx2＋mny2＋xym2＋xyn2

＝（mnx2＋xym2）＋（mny2＋xyn2）

＝mx（nx＋my）＋ny（nx＋my）

＝（nx＋my）（mx＋ny）．

五、巧设主元

对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明.

例5 分解因式：a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＋2abc．

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理 ．

a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＋2abc

＝a2（b＋c）＋a（b2＋2bc＋c2）＋bc（b＋c）

＝a2（b＋c）＋a（b＋c）2＋bc（b＋c）

＝（b＋c）［a2＋a（b＋c）＋bc］

＝（b＋c）（a2＋ab＋ac＋bc）

＝（b＋c）［a（a＋b）＋c（a＋b）］

＝（a＋b）（a＋c）（b＋c）．

从以上几例可以看出，分解因式题型众多，解法灵活，有较强的技巧性.若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维.

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