不等式（组）思想方法全频道

刘　力

数学思想方法是数学的灵魂．它来源于数学知识之中，反过来又能指导学生解决实际问题．因此，在复习过程中应重视数学思想方法的归纳与总结．现将涉及不等式与不等式组的主要数学思想方法归纳总结如下．

一、类比思想

类比思想是学习数学知识时常用的数学思想方法．类比相关的旧知识去学习新概念，会让新知识学得更容易、更轻松，理解更透彻．在不等式的学习中会多次运用类比的思想方法，如：由等式的基本性质类比不等式的基本性质；由一元一次方程的定义及解法类比一元一次不等式的定义及解法；由列一元一次方程解实际应用问题类比列一元一次不等式（组）解实际应用问题．

二、数形结合思想

在确定不等式或不等式组的解集时，利用数轴来表示解集，这一过程是将数量不等关系图形化，是 “数”与“形”的巧妙结合．

例1 （2007年·武汉）如图，在数轴上分别表示了某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（）．

A． x＜4 B． x＜2 C． 2＜x＜4 D． x＞2

解析：发挥数轴的作用，由图可知两个不等式的解集分别是x＜2和x＜4，所以该不等式组的解集是x＜2．选B．

说明：本题的求解关键是及时地将“形”转化为“数”．

三、建模思想

例2 暑假期间，小张一家自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程.如果汽车每天行驶的路程比原计划多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km；如果每天行驶的路程比原计划少12 km，那么它行驶前面8天行驶的路程需要9天多的时间．求原来计划每天行驶路程的范围．

解析：设原计划每天行驶x km，则根据题意，得

8（x＋19）＞2 200，

8（x＋19）＞9（x－12）．解得x＞256，

x＜260．

所以，原来计划每天行驶路程的范围是大于256 km且小于260 km．

说明：此题是一道实际应用问题，可建立不等式组模型来解．由于实际意义的限制，求出的结果必须合理．

四、分类思想

例3 2007年某县筹备20周年县庆．园林部门决定利用现有的3 490盆甲种花卉和2 950盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了园艺造型搭配方案的设计，那么，符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低．最低成本是多少元？

解析：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50－x）个，则根据题意，得80x＋50（50－x）≤3 490，

40x＋90（50－x）≤2 950．解这个不等式组，得x≤33，

x≥31．即31≤x≤33．

因为x是整数，所以x可取31，32，33．所以可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．

（2）方法一：由于B种造型的成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故选择方案③成本最低，最低成本为33×800＋17×960＝42 720（元）；方法二：分别计算每种方案的成本，比较可知方案③成本最低，最低成本为42 720元．

说明：本题实际上是利用不等式来设计方案，进行决策．这类不等式决策型试题在中考中“热”的程度，堪与函数知识方面的试题相比．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文