分解因式中要重视整体思想的运用

明　师

数学的思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的；知识只能使人受益于一时，思想与方法将使人受益于终生．著名数学教育家波利亚在上世纪60年代曾作过统计，普通中学的学生，毕业后在其工作中需要用到数学的约占全部学生的30％，而其余的70％则几乎用不到任何具体的数学知识．正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识（即指一般性的思想方法或思维模式）．”这就是说，数学学习必须重视数学思想方法．

在分解因式中，整体思想就是一种很值得重视的数学思想．例如，对二次三项式a2－7a－18分解因式后，如果将等式a2－7a－18＝（a－9）（a＋2）中的字母a进行变量变换，即将a变为x2，得x4－7x2－18＝（x2－9）（x2＋2）；将a变为x2－3x，得（x2－3x）2－7（x2－3x）－18＝（x2－3x－9）（x2－3x＋2）．通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看做一个字母，就可以利用换元法分解因式．这就体现了整体思想．

有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易．

例1 分解因式：（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24．

解析：在整体思想的指导下，我们很快地想到用换元法分解因式，即设x2＋x＝u，则：

原式＝u2－14u＋24＝（u－2）（u－12）＝（x2＋x－2）（x2＋x－12）

＝（x＋2）（x－1）（x＋4）（x－3）．

例2 分解因式：（x2－3x＋2）（x2－3x－4）－72．

解析：在整体思想的指导下，我们也很容易地得到以下的几种解题方案．

方案1：将x2－3x看做一个整体，原式＝（x2－3x）2－2（x2－3x）－80＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案2：将x2－3x＋2看做一个整体，原式＝（x2－3x＋2）2－6（x2－3x＋2）－72＝（x2－3x＋2－12）（x2－3x＋2＋6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案3：将x2－3x－4看做一个整体，原式＝（x2－3x－4＋6）（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4）2＋6（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4＋12）（x2－3x－4－6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

以上两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到和谐的统一．

数学问题的相似性是普遍存在的．根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题．

例3 分解因式：（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15．

解析：可将乘积（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）转化为两个二次三项式（并且它们的一次项和二次项相同）的乘积．明确了解题的方向，再观察系数特点，就会发现（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15＝（x2＋8x＋7）（x2＋8x＋15）＋15，从而转化为已解过的问题，利用整体思想不难加以解决，具体分解略．

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