不等式中的数学思想

李寒月　曲丽娜

如何学习不等式？怎样更好地掌握不等式及其相关内容呢？从不等式所蕴涵的数学思想出发，可以深化我们对不等式的理解和掌握.

一、不等式与等式——辨证统一思想

现实世界中的数量关系有不等和相等两类．与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．不等式就是描述现实世界不等关系的一种重要的数学表示形式.不等与相等存在着既对立又统一的关系.

一方面，对于两个数a、b，其大小关系只有两种情况：a ＝b或者a≠b．二者是对立的，不能同时存在.

另一方面，对于不相等的两个数a、b，a＞b等价于存在正数c满足a ＝ b＋c；反之，如果存在正数c满足a ＝ b＋c，那么一定有a＞b.

根据这一结论，我们很容易证明不等式的基本性质.

对于性质1“在不等式的两边同时加上或减去同一个代数式，不等号的方向不变”：设a＞b，则a＝b＋c（c＞0），根据等式的基本性质，a＋d＝b＋c＋d（c＞0），即a＋d＝（b＋d）＋c（c＞0），所以，a＋d＞b＋d.

请大家利用a＞b⇔a＝b＋c（c＞0）的结论，尝试证明在不等式的两边同时减去一个代数式的情况.

对于性质2“在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变”，我们仍然可以利用a＞b⇔a＝b＋c（c＞0）的结论给出证明：设a＞b，则a＝b＋c（c＞0），根据等式的基本性质，ad＝（b＋c）d（c＞0，d＞0），即ad＝bd＋cd（c＞0，d＞0），所以，ad＞bd.

同理，可以证明在不等式的两边同时除以一个正数的情况，请大家试着证明.

看了上面两个性质的证明，对于性质3“在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，大家可以轻松证明了吧．动手试一试吧！

二、解一元一次不等式（组）——数形结合思想

不等式的基本性质是解不等式（组）的重要依据，不等式的每一步变形都是根据不等式的基本性质进行的.在解不等式的过程中，要特别注意基本性质3，即在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变.

用数轴来表示不等式的解集，这是在“数与代数”领域里，继一次函数以后，又一次地体现了数形结合的思想.通过数轴表示，一方面能够使不等式的解集更加直观形象，一目了然；另一方面，也正是由于数轴的直观形象性，才使得我们能够迅速地确定不等式组的解集.

例1 解不等式组

＋3≥x＋1，

1－3（x－1）＜8－x．并将其解集在数轴上表示出来.

解：解不等式＋3≥x＋1，得x≤1．

解不等式1－3（x－1） ＜8－x，得x＞－2．

∴ 原不等式组的解集是－2＜x≤1．

在数轴上表示为：

三、不等式的应用——数学模型思想

不等式是表示现实世界中不等关系的重要数学模型.与建立方程模型的过程类似，建立不等式模型，同样需要我们将现实问题“数学化”，即找出现实问题中所隐含的数量关系，并用数学符号语言表示出来，从而建立所需的数学模型，然后对所建立的数学模型进行解释和求解，将所得的结果“翻译”到现实问题中，最后检验其是否具有现实意义.

不等式、方程和函数都是表示事物运动变化规律及其关系的模型.其中，函数刻画的是事物之间的对应变化过程，方程刻画的是事物变化过程中某一个瞬间的数量关系，而不等式则是刻画事物变化过程中同类量之间的大小关系.运用函数图象可以求解方程和不等式，反过来，运用方程和不等式也可以研究函数问题.

例2某商场进了200件货物，该货物进价为每件x元.若年初出售，则每件货物只能按进价的110％出售，但是可以将本利再投资一次，到时又可获利10％.若年末出售，每件货物能按进价的130％出售，但是要支付240元的仓库保管费.设年初出售商场获利为y1元，年末出售商场获利为y2元．

（1）请你分别写出y1、y2的表达式（用 x表示）．

（2）分别讨论当进价x取不同值时，哪种出售方案获利更多．

解：根据题意可得：

（1） 年初出售可获得利润y1＝200×0．1x＋200×1．1x×0．1＝42x．

年末出售可获得利润y2＝200×0．3x－240＝60x－240．

（2） 若年初出售获利更多，则y1＞y2，即42x＞60x－240，解之得x＜．

所以，当0＜x＜时，年初出售获利更多．

若年末出售获利更多，则y1＜y2，即42x＜60x－240，解之得x＞．

所以，当x＞时，年末出售获利更多．

若年初、年末出售获利相同，则y1＝y2，即42x＝60x－240．

解之，得x＝．

所以，当x＝时，年初年末出售获利一样多.

评析：本题涉及的是不等式与方程、一次函数的综合运用．在解题过程中，要注意体会不等式与方程、一次函数之间的区别和联系.

四、类比思想

不等式的许多性质是类比等式给出的．如等式的基本性质“在等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立”，这与不等式的性质1十分相似.

当然，不等式有些性质与等式性质具有本质上的区别．如在等式两边同时乘以或除以同一个数（不为0），等式仍然成立，对应于不等式的性质2、性质3，我们就会发现二者的不同：前者的相等关系仍然不变，而后者的不等关系虽然也没有改变，但是当不等式两边同乘以或同除以一个负数时，不等号方向却变成了与原来相反的方向．这是质的变化，学习时我们要特别注意.

另外，解不等式的过程也可与解方程的过程相类比，但也要注意不等号方向的变化.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文