《证明（一）》复习指导

2008-08-26喻俊鹏

中学生数理化·八年级数学北师大版 2008年5期

关键词：航向外角钝角

喻俊鹏

一、重点难点

1．重点：平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤．

2．难点：三角形内角和外角性质的灵活运用．

二、知识精析

1．观察、度量、猜测得到的结果未必是准确的．要判断一个数学结论是否正确，必须一步一步、有根有据地进行推理．要体会证明的必要性．

2．定义是对名称和术语加以描述，作出的明确的规定．命题是判断一件事情的句子．注意，表示判断的句子都是命题，而不管判断是否正确．没有判断的句子不是命题，如常见的疑问句、祈使句等．

3．每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

4．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．真命题可以通过推理、证明的方法证实，假命题则可以通过举反例来验证．

5．证明的一般步骤：（1）理解题意；（2）根据题意画出正确图形；（3）根据题意写出“已知”和“求证”；（4）分析题意，探索证明的思路；（5）依据寻求到的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；（6）检查证明过程是否正确、完善．

三、解题技巧

例1 一艘轮船从A港出发沿北偏东65°方向航行，行驶至B处转向北偏西25°方向继续航行，若到达C处后需要把航向恢复到与出发时一致的航向，应如何调整航向？

解析：依题意可画出航行示意图（如图1），其中箭头表示正北方向．因正北方向互相平行，故∠1＝∠A＝65°，从而∠CBM＝65°＋25°＝90°．射线CN表示轮船在C处调整后的航行方向，所以CN∥AM，∠2＝∠CBM＝90°．

轮船到C处时把原来的航向按顺时针方向转90°，就恢复到与出发时一致的航向了．

评注：这是一道有关平行线与方位角的应用题，关键是要能根据题意准确画出图形．画出图后就很容易应用平行线的性质进行说明了．

例2 如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E在AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠ECD的大小．

解析：设∠ECD＝x．因 AD＝AC，故∠4＝∠1＋x．又BE＝BC，所以∠3＝∠2＋x．因∠4＝∠2＋∠B，∠3＝∠1＋∠A，故∠1＋x＋∠2＋x＝∠2＋∠B＋∠1＋∠A．即2x＝∠A＋∠B．又∠ACB＝90°，得∠A＋∠B＝90°．所以 2x＝∠A＋∠B＝90°， x＝45°，即∠ECD＝45°．

评注：一般来说，在三角形中计算角时，三角形内角和定理及其推论起着很重要的作用，有时还需要用到方程思想来拓展思维，简化解题过程．

四、易错点直击

例3 如图3，直线AB和CD分别与直线MN交于E、F两点，EP和FQ分别平分∠MEB和∠EFD，AB∥CD．求证：EP∥FQ．

错证：∵ AB∥CD， ∴ ∠MEB＝∠EFD．

又∵ EP和FQ分别平分∠MEB和∠EFD，

∴ ∠1＝∠MEB，∠2＝∠EFD．

∴ ∠1＝∠2，EP∥FQ．

剖析：由∠1＝∠2并不能得到EP∥FQ，因为∠1和∠2在图中位置虽然“相同”，但它们并不是同位角．正确的方法是利用∠MEP＝∠MEB，∠EFQ＝∠EFD，得到∠MEP＝∠EFQ，从而证明EP∥FQ．

例4 若∠1和∠2的两边分别平行，且∠1＝50°，则∠2＝．

错解：答案为50°．

剖析：错误的原因是只考虑到了图4中两角的位置情况而忽视了图5中的位置情况．由两图可知∠1和∠2的关系是相等或互补．正确的答案应该是50°或130°．类似地，当∠1与∠2的两边分别垂直时，∠1与∠2的关系也是相等或互补，同学们可自己画图试试看．

例5 如图6，△ABC的外角平分线所在的直线围成了△DEF，那么△DEF的形状是（）．

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．与△ABC的形状一致

错解：答案为D．

剖析：从表面上看，△DEF的形状难以确定，应该与△ABC的形状一致，实际上却并非如此．我们可作如下证明：

因 AF、CF分别平分∠MAC和∠ACN，故 ∠FAC＝∠MAC，∠FCA＝∠ACN．又∠MAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACN＝∠ABC＋∠BAC，所以∠FAC＋∠FCA＝∠MAC＋∠ACN＝（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）＝（∠ABC＋180°），从而∠F＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝90°－∠ABC．于是必有∠F ＜ 90°．

同理可证：∠E＝90°－∠BAC， ∠D＝90°－∠ACB．因此，不论△ABC是怎样的三角形，△DEF总是锐角三角形．正确的答案是A．

五、相关中考题链接

1．（安徽）如图7，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2为（）．

A． 35°B． 45°C． 55° D． 125°

2．（北京）如图8，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC为（）．

A． 155°B． 50°C． 45° D． 25°

3．（宁波市）如图9，AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，则∠E＝（）．

A． 23°B． 42°C． 65° D． 19°

4．（武汉市）如图10，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFC＝115°，则∠AED′为（）．

A． 50°B． 55°C． 60° D． 65°

5．（安徽）如图11，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E∶∠F＝（）．

A． 2∶1B． 3∶1 C． 3∶2D． 4∶3

6．（新疆）如图12，△ABC中，∠A＝80°．剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝．

7．（金华市）如图13，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿DE向下折叠，得到图14．下面关于图14的四个结论中，不一定成立的是（）．

A．点A′落在BC边的中点 B．∠B＋∠C＋∠1＝180°

C． △DBA′是等腰三角形 D． DE∥BC

8．（哈尔滨市）过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（）．

A． 140° B． 160° C． 120° D． 110°

9．（南充市）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）．

A． 115° B． 120° C． 125° D． 130°

10．（太原市）如图15，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠A＝25°，则∠E＝．

11．（贵阳市）如图16，已知AB∥DE，∠ABC＝60°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝．

12．（南宁市）如图17，平面镜AO与BO之间的夹角为120°，光线经平面镜AO反射后射到平面镜BO上，再反射出去．若∠1＝∠2，则∠1＝．

13．（天津）如上页图18，△ODC中，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠OCB＝25°，则∠BED＝．

14．（江西）如图19，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝．

15．（伊春市）如图20，AB∥CD，∠B＝120°，∠1＝72°，则∠2＝．

16．（安徽）取一副三角板按图21所示拼接．将三角板ABC绕A点按顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），得到△ABC′．（1）当α为何值时，能使得图22中有AB∥DC？（2）当旋转到图23位置时，α又为多少？找出图23中的相似三角形，并求其中一对的相似比．（3）连接BD（如图24），当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的值的变化情况，并给出你的证明．