一则基于合作学习的探究性教学案例

胡灵波

一、教学设计的背景和思路

浙教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第一章三角形中，在研究了三角形全等的四种判定方法后，在课后练习第23页给出了这样一个题目：有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形是否全等?这个问题其实涉及到两种情况：一、这个角是两条边的夹角；二、这个角是其中一边的对角．对于第一种情况，两个三角形一定全等，即SAS定理，而第二种情况的结论则具有一定的综合性和复杂性，在以往的教学中，受应试功利主义的影响，教师往往直接举出反例，说明这样的两个三角形不一定全等，这种教学导致的结果是经过一段时间以后，大部分学生只知道不一定成立，因为有SAS定理，而反例早就抛到脑后了．其实，在这个结论的探索过程中不仅用到很多相关知识，而且涉及到分类思想、实验操作等方法论的内容，非常具有研究的价值．

美国《几何》教材中，编排了大量体现一种应用性学习的课程——设计作业．即在综合所学的知识和技能的基础生，通过对有关问题的探究，提出解决问题的方案策略，再根据正确的策略进行实践操作得到问题的结论．美国Massachusetts(马萨诸塞州)1998版初二几何教材关于设计作业涉及一个课题：使用变形．其主要内容是这样描述的：选择一个关于三角形全等的条件和方法，然后写出一个计划来证明转变后的条件和方法．

上述中美两套教材涉及的两个问题不谋而合，于是，笔者就这个问题设计了一节基于合作学习的探究性教学案例，试图通过体验感悟、实践操作、发现问题、解决问题、表达与交流等活动方式，让学生更好地理解数学，学会象数学家那样思考和认识数学世界，使数学学习成为数学探究的简约复演，即数学的“再创造”

二、教学实录

上课开始，教师用多媒体出示课题名称：三角形条件全等的拓展和应用，开门见山提出问题：前几节课我们研究了三角形全等的条件，大家回忆一下，一共有哪些方法可以判断两个三角形全等?

学生齐声回答：SSS，SAS，ASA，AAS．

教师板书这四种方法后，接着说：很好，我们知道，这4种方法都是从三角形的基本元素——边和角出发进行讨论的，这些条件不仅是边或角中三个元素的组合，而且边和角还有位置上的限制，如SAS中的角必须是两条边的夹角．那么是否还存在其他的组合呢?比如AAA，能判断两个三角形全等吗?为什么?

学生1：不能．比如这两个三角形形(指着手中的一个三角板)，三个内角分别都是45°，45°，90°，但这两个三角形显然不全等．

教师：非常好!这样的反例很多，其实，如果仅仅已知三角形的三个内角，我们可以画出无数个三角形，也就是说，已知三角形的三个内角，三角形的形状和大小是不能确定的．

所以，AAA不能判定两个三角形全等．

教师接着追问：那么SSA呢?能否用这样的条件判断两个三角形全等？学生一时语塞，陷入沉思．

片刻后，教师启发道：这个问题相当于让我们探究——有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?

课件显示：

探究——有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?

教师继续启发：我们很难直接想到明确的答案．那么首先让我们来思考用什么方法可以解决这个问题呢?

话音刚止，学生2立刻举手发言：不一定全等，当已知角是直角时，两个三角形全等；当已知角是钝角时，两个三角形全等；当已知角是锐角时，两个三角形不全等．

教师惊叹：太棒了，你几乎说出了这个问题的正确答案，你能告诉同学们，你是怎么思考的吗?

学生2犹豫一下，说：我直接想出来的．教师微笑：哦，直接想出来的，不错，说明你的数学直觉很好，但解决问题仅仅凭数学直觉是不够的．再想想我们在说明SSS，SAS，ASA，AAS定理时，是用什么方法得到的?

学生2：哦，对了，画三角形，已知三角形的两边和其中一边的对角，画出这个三角形，然后把画得的三角形跟同学进行比较，就知道能否全等了．

教师：非常好!下面我们一起动手通过画三角形来探究这个问题．

课件显示：

小组合作学习：

1．每组分别编一个画三角形的作图题，要求画一个三角形，使这个三角形的两边和其中一边的对角是已知量．(注意：要使已知条件能构成三角形，否则要重新调整数据)

2．根据每组自编的题目，每个组员画出满足要求的三角形．

3．把你画出的三角形跟组内其他同学所画的三角形进行比较，它们全等吗?

4．请小组代表在班上交流你们组发现的结论．

小组操作，教师巡视，参与指导和点拨，约十分钟左右，学生纷纷举手要求发表意见．

学生3：我们组从最简单的情况入手，设计的题目是：求作△ABC，使AB=4，AC=3；∠C＝90°．我们发现满足条件的三角形的形状和大小都是确定的，由此可以得到，当SSA中的角为直角时，三角形全等．其他情况还在探索中．

实物投影展示：组内同学所作的四个满足条件的三角形，分析比较后得到四个三角形全等．

教师：很好，有没有与他们得到的结论一样的小组?

小组1举手示意．

教师继续追问：其他小组有不同的意见吗?

学生4：我们小组设计的题目是：求作△ABC，使AB＝4,AC=2，∠C=120°．我们发现满足条件的三角形的形状和大小也是确定的，由此可见，当SSA中的角为钝角时，三角形全等．(实物投影展示实验结果)

教师：非常好，有没有小组设计的题目中的已知角是锐角的情况?

学生5：我们小组设计的题目是：求作△ABC，使AB=3，AC=2，∠C=60°．但是我们发现满足条件的三角形的形状和大小也是确定的，由此可见，当SSA中的角为锐角时，三角形也是全等的．(实物投影展示实验结果)

学生6马上站起来，发表意见：不对，我们小组设计的题目是：求作△ABC，使AB＝3，AC＝4，∠C=30°，发现满足条件的三角形可以画出两个，也就是说满足条件的三角形的形状和大小是不确定的，由此可见，当SSA中的角为锐角时，三角形不全等．(实物投影展示实验结果)

教师：同学们，从实验数据看，这两组同学说的都有道理，那么问题出在哪里呢?

这时，同学们陷入了沉思中，学生7犹豫着站起来了：这里的角都是锐角，我觉得好像跟两条已知边有关系，如果第二个题目(指学生6的题目)中的AB取5的话，那么又只能画一个三角形了．

其他同学若有所悟，教师启发：很有道理，同学们继续观察，全等的时候，两条已知边有什么关系?不全等的时候，又有什么关系?

学生7：我想应该是若已知角所对的边是两条边中较长的那条边时，那么两个三角形全等；若已知角

所对的边是两条边中较短的那条边时，那么两个三角：形不一定全等．

至此，通过教师的点拨和学生的积极参与，问题已经得到了很好的解决，教师投影总结问题的各种情况，并归纳出直角的情形，其实是HL定理，指出关于定理的证明留到以后再完成，出示HL定理的应用．

投影显示：

没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗?

小红的画法：

如图，用三角板画角平分线的方法：

(1)利用三角板在∠AOB的两边上分别取OM=ON；

(2)分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；

(3)画射线OP．

则射线OP就是∠AOB的角平分线．

师生共同完成解答过程，最后总结本节课的知识和方法．

三、课例分析

关于公式、定理、法则教学课，宜侧重选用尝试发现、自主探索方式、教学实验方式和多向合作交流方式．本节课从已有的判定三角形全等的条件入手，通过类比改变条件，尝试发现的方式抛出问题，放手让学生通过几何实验(画图)的方法以及自主探索、多向合作的方式进行探究性学习，从而得到问题的解决．

1．关于合作

这里的合作包括三方面的合作：师生合作、组内合作、组间合作．在本节课中，教师是探究活动的组织者，是探究材料和学习任务情境的提供者，是探究方法手段设计的帮助者．而且，教师对学习过程进行监控，对学习中存在的问题提出建设性意见，指导学生反思整个探究学习．组内合作与组间合作首先应注意如何合理分组，笔者根据组内人员异质(即基础水平有上、中、下三类)、组间同质的原则，利用位置上的方便，采取前后两桌四人一小组．

本节课通过教学实验方式和多向合作交流方式的实施，使问题得到圆满解决的同时，也使学生初步认识数学的另一个侧面，自觉领会和遵循社会人生存的规范和准则，在发挥个体作用、经受个体竞争考验的同时，可启迪学生善于与在人合作，使学生的团队精神和竞争意识得到激励和培养．

2．关于探究性学习

在传统的课堂教学中，学生体验到的数学基本上是“数学成品”，学生很少有机会尝试、实验或探究，找寻各种不同的问题答案．有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，学习不单是听讲，而且还应研究、发现或实验．动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．在探究性学习模式中，教师呈现给学生的是一个或多个问题，或需要予以解决的疑难情境．教师对问题不给予直接的答案，学生根据问题有目的地动手实践、自主探究、分析信息，同教师或其他同学进行交流讨论，最终解决问题．在这一过程中，教师的任务主要是给予学生适当地引导，没有教师的引导．学生会失去探究的方向．在大多数学习过程中，学生往往只能独立解决部分难题，探究性学习也不是经常独立运作的，需要小组内部和外在的反馈，以帮助理解问题、理解对象的结构．有些帮助有助于学生形成合理的认知策略，保证学习的顺利进行．本节课，通过学生自主编写三角形作图题来研究三角形全等的判定条件，从方法论的高度给学生以启发；同时，在几何作图的过程中，需要用到一些作图原理，通过合作交流，弥补个别学生作图知识的不足．

本节课，不仅通过组内合作探究，而且通过组间互补，使问题得到圆满地解决．