三角形内角和定理的应用

张水华

三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系.这些关系对于解答有关三角形中角的问题有着很重要的作用.

一、求三角形中角的度数

例1已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求各内角的度数.

分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的.我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决.设参数是个好方法.

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、3x、4x.

根据三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°.

解得x=20°.

∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°.

二、求特殊图形中某些角的度数之和

例2如图1，求五角星的五个顶角的度数之和.

分析：观察图1可发现，∠2=∠B+∠D，∠1=∠E+∠C，这样将五个角的度数集中到一个三角形中.

解： 由三角形内角和定理的推论，得

∠B+∠D=∠2，∠C+∠E=∠1.

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠2+∠1

=180°.

三、确定角与角之间的关系

例3如图2，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，它们交于O点，则∠DOC与∠ABE的关系是（）.

A. 相等 B. 互余C. 互补D. 无法判断

分析：观察图2，∠1+∠2+∠ABE是△ABC内角和的一半，即90°.又∠DOC是△OAC的一个外角，所以∠DOC=∠1+∠2，那么∠DOC+∠ABE=90°.

解： ∵∠DOC=∠1+∠2

=∠BAC+∠BCA

=（180°－∠ABC）

= 90°-∠ABC

=90°-∠ABE，

∴∠DOC+∠ABE=90°， 即两角互余.故应选B.

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