三角形内角和定理的应用
2008-06-14张水华
中学生数理化·七年级数学华师大版 2008年4期
张水华
三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系.这些关系对于解答有关三角形中角的问题有着很重要的作用.
一、求三角形中角的度数
例1已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,求各内角的度数.
分析:这个比例式是以后学习中经常遇到的.我们知道,三角形的内角和是180°,如果将角的比例式转化为每一个角的度数,问题就可解决.设参数是个好方法.
解:设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、3x、4x.
根据三角形内角和定理,得2x+3x+4x=180°.
解得x=20°.
∴∠A=2×20°=40°,∠B=3×20°=60°,∠C=4×20°=80°.
二、求特殊图形中某些角的度数之和
例2如图1,求五角星的五个顶角的度数之和.
分析:观察图1可发现,∠2=∠B+∠D,∠1=∠E+∠C,这样将五个角的度数集中到一个三角形中.
解: 由三角形内角和定理的推论,得
∠B+∠D=∠2,∠C+∠E=∠1.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠2+∠1
=180°.
三、确定角与角之间的关系
例3如图2,AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,它们交于O点,则∠DOC与∠ABE的关系是().
A. 相等 B. 互余C. 互补D. 无法判断
分析:观察图2,∠1+∠2+∠ABE是△ABC内角和的一半,即90°.又∠DOC是△OAC的一个外角,所以∠DOC=∠1+∠2,那么∠DOC+∠ABE=90°.
解: ∵∠DOC=∠1+∠2
=∠BAC+∠BCA
=(180°-∠ABC)
= 90°-∠ABC
=90°-∠ABE,
∴∠DOC+∠ABE=90°, 即两角互余.故应选B.
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