例析列不等式（组）解应用题

葛余常

新课程目标指出，“要初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”.近几年来中考试题中不断出现各种新型的实际应用题，就是这一思想的具体体现.本文现介绍用不等式（组）来解答应用题，并作归类分析.

一、不等关系明确型

题目中反映某些量的关系由表示不等关系的词、句连接而成，这类应用题不妨视为不等关系明确型.

例1（2007年·南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表.

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

请你帮助商店算一算有多少种进货方案.（不考虑除进价之外的其他费用）

分析：此题主要考查了列不等式（组）解应用题，解决此类问题的关键在于找出其中的不等关系并列出不等式（组）.所以要抓住一些关键词语如“不超过”、“超过”、“不足”、“不大于”、“不小于”等等.

解：设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得：

x

≥（100-x），

1 800x+1 500（100-x）≤161 800.

解不等式组，得33≤x≤39．

即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．

评注：列一元一次不等式（组）解应用题的步骤与列一元一次方程（组）解应用题步骤类似：要从题意出发，设好未知数后，分析题目中的实际情境，抓住表示不等关系的关键词、句列出不等式（组），再求解集或特殊解，检验并作答.

二、不等关系隐蔽型

有些应用题从表面上看没有不等关系，而仅找等量关系又无法使得问题获解.

例2（2007年·怀化）2007年某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3 490盆甲种花卉和2 950盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

分析：本题隐含了A、B两种园艺造型中甲种花卉不多于3 490盆、乙种花卉不多于2 950盆这样的信息，据此，可列出不等式组进行解答.

解：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意，得：

80x+50（50-x）≤3 490，

40x+90（50-x）≤2 950.解这个不等式组，得：x≤33，

x≥31.故31≤x≤33.

易知x是正整数，故x可取31，32，33，所以可设计三种搭配方案：

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；

③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．

（2）方法一：由于B种造型的成本高于A种造型的成本，所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42 720（元）.

方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43 040（元）.

方案②需成本：32×800+18×960=42 880（元）.

方案③需成本：33×800+17×960=42 720（元）.

应选择方案③，成本最低，最低成本为42 720元.

评注：解不等关系隐蔽型应用题时，获取数据，理解背景，挖掘隐含关系、理顺关系是关键.解答此类题常通过解不等式组确定未知量的取值范围，从而求出未知量的值.这类应用题在日常生活中属常见问题，应引起特别关注.此外运用不等式（组）解实际问题时，要注意等号是否成立.

三、不等关系比较型

有些应用题需要间接利用不等式来比较几个量的大小，求解时常需用分类讨论方法，依变量的不同变化范围，选择相应的合算方案.

例3（2007年·资阳）某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒乓球.已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元.现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球.若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：

（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？

（2）当k=12时，请设计最省钱的购买方案.

分析：对A、B两家超市的比较，实质上是两种费用的大小比较，因此本题要分三种情况分类讨论.由此可运用方程和不等式的相关知识求解，从而确定出更合算的方案.

解：（1）由题意，去A超市购买n（n为正整数）副球拍和kn个乒乓球的费用为0.9（20n+kn）元，去B超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为[20n+n（k－3）]元.

由0.9（20n+kn）<20n+n（k－3），解得k>10；

由0.9（20n+kn）=20n+n（k－3），解得k=10；

由0.9（20n+kn）>20n+n（k－3），解得k<10.

故当k>10时，去A超市购买更合算；当k=10时，去A、B两家超市购买都一样；当3≤k<10时，去B超市购买更合算.

（2）当k=12时，购买n副球拍应配12n个乒乓球.

若只在A超市购买，则费用为0.9（20n+12n）=28.8n（元）；

若只在B超市购买，则费用为20n+（12n-3n）=29n（元）；

若在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，则费用为20n+0.9×（12-3）n=28.1n（元）.

显然，28.1n<28.8n<29n.

故最省钱的购买方案为：在B超市购买n副球拍同时获得送的3n个乒乓球，然后在A超市按九折购买9n个乒乓球.

评注：此类集不等式、方程知识于一体的应用题，形式多样，内容丰富.诸如购团体或个人门票问题，使用不同计费方式的手机资费问题等都在生活中有原形.要解决这样的实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.

四、方程与不等式的混合型

有些应用题，既有等量关系，又有不等关系.解这类混合型应用题时，可借助不等关系来解不定方程，通过不定方程的多组解确定最优方案或最大效益，这是近几年较常见的一种中考题型.

例4（2007年·潍坊）为改善办学条件，北海中学计划购买部分A品牌电脑和B品牌课桌．第一次，用9万元购买了A品牌电脑10台和B品牌课桌200张；第二次，用9万元购买了A品牌电脑12台和B品牌课桌120张．

（1）每台A品牌电脑与每张B品牌课桌的价格各是多少元？

（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买B品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，有几种购买方案？

分析：本题由等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，再分别求解就能使问题迎刃而解.

解：（1）设每台A品牌电脑m元，每张B品牌课桌n元，则有：

10m+200n=90 000，

12m+120n=90 000.解得m=6 000，

n=150.

（2）有两种方案．

设购电脑x台，课桌y张，x，y为正整数，则有0.9×6 000x+0.8×150y=270 000，

x≥35，

y≥600.解得35≤x≤

36，

600≤y≤675.

x=35时，y=675；x=36时，y=630．

方案①：购电脑35台，课桌675张；

方案②：购电脑36台，课桌630张．

评注：在涉及多个未知量且含不等关系的应用问题中，往往需要列出方程组、不等式组来求解，同学们应熟练掌握这类问题的求解方法.

综上可知，运用不等式或不等式组的知识解决问题，其基本思路是建立不等式（组）的模型，从实际问题中准确地找到不等关系加以解决.列一元一次不等式或一元一次不等式组解应用题的一般步骤是：

（1）弄清题意和题目的数量关系，用字母表示未知数；

（2）找出能够表示应用题全部含义的一个或几个不等关系；

（3）根据不等关系列出需要的代数式，列出不等式或不等式组；

（4）解这个不等式或不等式组.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”