对三角函数复习与预测的智性思考

1 考情分析

高考中，三角函数考点主要考查学生的运算能力，在客观题中，突出考查基本公式所涉及的运算、三角函数图象的基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系的考查较为关注．解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算．三角函数部分，公式较多、易混淆，在运用过程中，一定要树立目标意识，观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向．

2 复习建议

1．复习三角函数与复数内容时，对一些题目在熟悉常规解法的前提下，重在灵，活，巧上下工夫，做到省时省力，以适应考试的需要．

2．“等价转换”应突出等价性．

（1）每用公式，都应审视公式成立的条件，以形成好的习惯思维．

（2）公式应用过程中，符号的取舍要认真对待，试题往往把这类问题作为考查的重点．

（3）要熟练掌握公式的正向、逆向运用，以此缩短思维、寻找解题最佳路径，从而使运算流畅、简洁、自然．

3 应注意的几个问题

1．应熟悉三角函数线的应用，如何用来解、证三角不等式，比较三角函数值的大小等．

2．注意y=sinωx与y=sin(ωx+θ)（ω>0）之间角的图形变换．

3．注意y=sin（ωx-φ）与y=sin（φ-ωx）单调区间的求法不同，这由于u=ωx-φ(ω>0)为增函数，而u=φ-ωx(ω>0)为减函数．

评注 正弦函数图象和余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，涉及三角函数对称性内容的题目在高考试题中经常考查，是一个常考不衰的热点问题．有关三角函数图象单调性知识点考题一直是高考试题中的热点题型之一，这类考题一般是通过化简、变形已知三角函数式，才能决定三角函数的单调区间变化情况．

评注 由于三角函数是具有周期性的特殊函数，因此，在高考试卷中，侧重考查三角函数的周期性兼带最值的考题倍受命题者的青睐．

评注 高考试题除了侧重考查三角函数的周期问题外，考查三角函数的值域、奇偶性、单调性、对称性的考题也常考不衰．这类考题不仅仅是选择或填空题型，有时还会以解答题的形式出现在考卷上，但考题难度相对来说还属于中档题型．

评注 三角函数求值问题常见的题型为，一般是给出一个比较简单的三角函数式的值或三角等式，求其它一些三角函数的值．解这些问题应注意的是：一要严格讨论角的变化范围；二要选择公式与解题方向必须得当；三要熟悉变换方向；四要掌握变形技巧．三角函数的求值问题注意根据角的范围来确定三角函数值的正负，并要注意沟通已知与未知之间的联系，灵活运用公式是关键．

评注 此考题是以平面向量为载体，综合三角函数与平面向量交叉汇合处为主干，最终转化为纯三角函数问题．利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势．

5 真题速解

5．1 三角函数的奇偶性问题

(1)根据函数的奇偶性定义进行判断；（2）转化为基本三角函数，再根据基本三角函数的奇偶性进行判断．

5．5 与y=Asin(ωx+φ)图象有关的问题

一般结合图象用“五点法”和“图象变换法”解题；用在统一周期中，函数的最大值、最小值点的特征进行求解，在很多情形下显得非常简捷．另外，对于选择题，还可以用特殊值、排除法等求解．

命题意图与思路点拨：本题考查三角函数的简单变形和三角函数图象的基础性质．高考中对三角函数性质的考查一般是体现在两个方面：(1)选择或填空题单纯对三角函数性质进行考查；(2)在大题的某几步或某一问对其进行考查．其中三角函数的图像、单调性、对称性、奇偶性,在以往的试题中针对三角函数的图像、单调性、奇偶性的试题较多,因此对对称性的考查要特别加以防范．

方向2 三角函数图像是高考考查三角函数性质题型的另一个热点

例１3 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

命题意图与思路点拨：本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题． 当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以上预测题，重在为备考中的考生揭示题型规律，归纳与探究解题策略．

作者简介 管宏斌，男，1970年出生，教育硕士，中学高级教师，奥赛一级教师.通州市十佳青年.发表文章一百余篇.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”