２００８年安徽高考理科２２题结论的推广

黎金传

江西省上饶县中学 (334100)

笔者在做2008年安徽高考题时，发现理科22题结论可推广，得到圆锥曲线的共有性质：

原题 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(-2，0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|〢P遼•|㏎B遼=|〢Q遼•|㏄B遼.证明：点Q总在某定直线上.

原解：(1)由题意：c2=2，

2a2+1b2=1，

c2=a2-b2，解得a2=4,b2=2，所求椭圆方程为x24+y22=1.

(2)设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2).由题设知|〢P遼,|㏄B遼,﹟〢Q遼,獆㏎B遼均不为零，记λ=|〢P遼|㏄B遼=|〢Q遼|㏎B遼,则λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四点共线，从而〢P=-λ㏄B,〢Q=λ㏎B,,于是

4=x1-λx21-λ,1=y1-λy21-λ,x=x1+λx21+λ,

y=y1+λy21+λ,从而x21-λ2x221-λ2=4x,(1)

y21-λ2y221-λ2=y,(2)

又点A、B在椭圆C上，即x21+2y21=4,(3)，x22+2y22=4,(4)

(1)+(2)×2并结合(3)，(4)得4x+2y=4.即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.

本文针对第(3)问进一步思考，探究其结论是否为椭圆的共有性质.由此可得

结论1 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),P(x0,y0)为椭圆C外定点，过P的动直线l交椭圆C于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,则点Q总在直线x0xa2+y0yb2=1上.

证明：设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设|PA|、|PB|、|AQ|、|QB|均不为零，且|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四点共线，可设㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q,(λ≠0,±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0+λx1-λ,y2=y0-λy1-λ.由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，则x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,即

(x0+λx)2(1+λ)2a2+(y0+λy)2(1+λ)2b2=1 ①

(x0-λx)2(1-λ)2a2+(y0-λy)2(1-λ)2b2=1 ②

将②×(1-λ)2-①×(1+λ)2得4λx0xa2+4λy0yb2=4λ，即x0xa2+y0yb2=1,∴点Q在直线x0xa2+y0yb2=1上.

由于椭圆、双曲线、抛物线同为圆锥曲线，有许多共有性质，所以进一步思考，结论1是否也适用于双曲线、抛物线.

由此可得

结论2 设双曲线C：x2a2-y2b2=1，过定点P(x0,y0)作动直线与双曲线一支交于A、B两点，P不在线段AB上，在线段AB上取点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，则点Q总在直线x0xa2-y0yb2=1上.

结论2证明过程与结论1类似，有兴趣的读者不妨试试.

结论3 设抛物线C：y2=2px,P(x0,y0)为抛物线C外部一定点，过P的动直线l交抛物线C于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，则点Q总在直线y0y=p(x+x0)上.

证明：设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由题设|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四点共线，可设㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q(λ≠0，±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0-λx1-λ,y2=y0-λy1-λ,由于A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C上，则y21=2px1,y22=2px2.即y0+λy1+λ2=2px0+λx1+λ ①

y0-λy1-λ2=2px0-λx1-λ ②

将①×(1+λ)2-②×(1-λ)2，得4λy0y=4p(λx0+λx),即y0y=p(x0+x).∴点Q在直线y0y=p(x0+x)上.

参考文献

［1］2008年安徽高考试题.