一个分式不等式的联想

有名辉

浙江省杭州市安吉路实验学校 (310006)

瓦西列夫不等式［1］叙述如下：

设a,b,c>0,a+b+c=1，则有a2+bb+c+b2+cc+a+c2+aa+b≥2.(1)

将此不等式进行联想类比，并推广到多元情形，得到

结论1 设x1,x2,…，x璶>0,n∈N,n≥2，则∑x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≤x1+x2+…+x璶.(2)

其中记号“∑”表示循环和.

证明：x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶=

x12x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+x22x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2-x2+x3+…+x璶n-1≥x1+x2+…+x﹏-1猲-1-x1+x2+…+x璶n-1.

采用同样的方法处理(2)式左边的其他项，可得

∑x21+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≥

2∑x1+x2+…+x﹏-1猲-1-∑x2+x3+…+x璶n-1=x1+x2+…+x璶.当且仅当x1=x2=…=x璶时上式等号成立.类似结论1的证明，还可以得到

结论2 设x1,x2,…，x璶>0,n∈N,n≥2，1≤i≤n，且当n+i-2>n时，取x﹏+1=x1,…，x﹏+i-2=x﹊-2，则

∑x2璱+x2﹊+1+…+x2﹏+i-2獂2+x3+…+x璶≥x1+x2+…+x璶.

结论1和结论2中，不等式左边每一项的分母和分子的“缺项”都是一项，现作进一步推广.

结论3 x1,x2,…,x璶>0,n∈N,n≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1；且当i+n-j-1>n时，取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j-1=x﹊-j-1，则∑x2﹊+1+x2﹊+2+…+x2﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(x1+x2+…+x璶),(3)，当且仅当x1=x2=…=x璶时上式等号成立.

证明：类似结论1，也可参照以下结论4的证明，在此略去过程.

结论4 设x1,x2,…,x璶>0,n,m∈N,n≥2,m≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1，且当i+n-j>n时，取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j=x﹊-j,则∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k•∑ni=1x﹎-1璱.(4)

证明：由于x琺﹊+1獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶=(m-1)x琺﹊+1(m-1)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)+

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺-

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺≥

mmx﹎(m-1)﹊+1(m-1)琺(n-k)琺-

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=mx﹎-1﹊+1(m-1)(n-k)-(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺.

类似的处理可得

x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-

(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺,所以

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

∑m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-

∑(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=

m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)琺∑(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1.(5)

当m≥2时，f(x)=x﹎-1是一个下凸函数，由下凸函数的獼enson不等式［2］可得(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1≤(n-k)﹎-2(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶).(6)

把(6)式代入(5)式，可得

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)2∑(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶)=m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)=n-jn-k∑ni=1x﹎-1璱.结论3证毕.

在(4)式中，对∑ni=1x﹎-1璱再用一次下凸函数的獼enson不等式，可得

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(∑ni=1x璱)﹎-1猲﹎-2,(7)

此即为文［3］中定理1的一个推广.

结论4中，赋予m,n,j,k不同的值时，可以得到很多形式对称的不等式.其中有很多在一些文献或竞赛试题出现过.例如

取j=k=n-1,i=n-2,m=2，则结论4化为∑x21x2≥x1+x2+…+x璶，此为1984年全国高中数学竞赛题.

取j=n-1,k=1,i=0,m=2，并记x1+x2+…+x璶=s，则结论4化为∑ni=1x2璱s-x璱≥sn-1,此为《数学通报》1994年第11期数学问题第925题.特别地，若s=1，即为《数学通报》1993年第7期数学问题第845题.

取j=n-1,k=i=n-2，m=2，则结论4化为∑x21x1+x2≥12∑ni=1x璱，此为1991年亚太地区数学竞赛试题，也是第24届全苏数学奥林匹克试题.特别地，取n=3，则为《数学通报》1995年第4期数学问题第946题.

取j=n-1.k=1,i=0,m=2，则结论4化为∑x31x2+x3+…+x璶≥x21+x22+…+x2璶n-1.即为《数学教学》1996年第5期问题第405题.特别地，此式中取n=4,则

∑x31x2+x3+x4≥x21+x22+x23+x243≥

x1x2+x2x3+x3x4+x4x13,即为第31届IMO预选题.

(7)式中，取j=n-1,k=1,i=0,m=3，并记x1+x2+…+x璶=s，则∑ni=1x3璱s-x璱≥s2n(n-1),这是《数学通报》2007年第2期问题第1660题的推广.

取j=k=i=n-3,m=3，则结论4化为∑x31+x32+x33x1+x2+x3≥∑ni=1x2璱.此为文［4］所得结论.类似的特例在其它一些数学杂志和数学竞赛中还有很多，限于篇幅，在此不再赘述.除此之外，结论4对一些命题的证明也会带来方便.如

例1［5］ 设α是锐角，求证玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥1.

证明：由结论4，可得玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥玸in2α+玞os2α=1.同理可证《数学通报》1994年第9期问题第912题：

例2 设α，β，γ是锐角，玸in2α+玸in2β+玸in2γ=1,求证玸in3α玸inβ+玸in3β玸inγ+玸in3γ玸inα≥1.

参考文献

［1］李学军(戎松魁译).一组优美的不等式.数学通讯，2006，21.

［2］T•M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程.北京：人民教育出版社，1957.

［3］季明银.一类不等式的推广.数学通报，2008.1

［4］杨银福，杨志丹.一个不等式的变形及推广.数学通讯，2000.6.

［5］曾思江，刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析.湖南数学通讯，1996，2.