试论分析和解决数学问题能力的内涵及教学策略

张广飞 徐海波

从某种意义上讲，数学学习的最终目的是能够运用所学知识、原理比较熟练地分析和解决各种数学问题。虽然中学数学中研究的问题，都是在一定的科学背景下已经解决的问题，从科学探索的意义上，它们已不成其为问题。但是由于学校教学过程中学生认识活动的特殊性，对于学生而言，这些仍作为一个个未知的问题提出。数学教学就是通过引导学生去探索、解决这一个个问题，从而达到掌握知识、发展智力、培养能力的教学目标。本文试就从学习迁移和多元认知角度，对分析和解决数学问题的全过程加以审视，从理论和操作两个层面上进行了阐述。

一、分析解决数学问题的基本程序模式

问题解决是一种企图达到目标的尝试。问题解决者的任务就在于要找到某种能达到目标的操作程序。通常一个数学问题包含着已知、条件、未知及它们之间的联系这几个要素，数学问题解决的任务就是寻找已知、条件和未知之间的联系，并利用这种联系去达到解决问题的目的。

面对一个数学问题，解答者总是在他们已有和能够达到的认知状态中，猜测或搜索出一些概念、规律和方法。尝试在问题的目标和条件之间寻找联系。一旦确定某一或某些概念、定理和性质可能建立起这种联系时。便将其探索应用于求解这个给定的问题，从而得到一个结果。然后将这一结果反馈检验，若结果是肯定的，则问题解决；若结果是否定的则进行矫正。即修改或重新猜测，这种循环往复，利用“猜测——探索——结论”最终使问题解决的思维程序，是数学问题解决(实际上也使用于其他问题解决)的基本模式。

二、分析和解决数学问题能力的内涵

从上面的问题解决模式可知，分析和解决数学问题过程中包含着各种不同的活动，因此分析和解决数学问题的能力也是一种包罗广泛的能力。根据分析和解决数学问题中的程序模式，分析和解决数学问题的能力主要包括如下内涵。

1、识别和分析问题的能力

识别和分析问题的能力是指正确理解题意，善于发现问题中的隐含条件，恰当地选择已知、条件，正确分析问题中可能用到的定理、性质、规律的能力。学不好数学的学生常常由于这一能力不强，找不出问题中的隐蔽条件、临界条件，或是不善于甚至不习惯于去分析数学过程，在具体问题面前不进行具体分析，而是乱套乱用性质，凭空想当然解题，在解决问题的起始阶段就走向了歧途。

2、“原型”的衍生和再造能力

“原型”就是形成数学概念和方法时的原始材料，实验探究或验证的过程，以及为了掌握数学技能、方法时，学习过的典型例题。从本质上讲，解决实际问题时，我们首先都是在“问题原型”的启发下，进行思考和展开思路的：很多看似新的题型都是由我们所熟知的“问题原型”衍生、再造或重组而成的。因此我们学习时，除了记熟公式、原理和方法以外，还应该熟练的掌握各种类型的“问题原型”。分析和解决数学问题能力强的学生，“问题原型”掌握一定比较丰富，且稳定性和可辨别性较强，同时“问题原型”的衍生、再造和重组能力也一定较强。

3、选择解决问题的策略和对解题过程评价反馈的能力

选择解决问题策略的能力包括两个方面。—个方面是对问题的方向进行大致推测，并把将要采取的手段与问题的未知联系起来，对解决问题的可行性进行判断的能力。这方面的能力强，从一开始就能从客观上把握问题的整体，高瞻远瞩地看待以后的解题过程。从而可以避免走弯路或不必要的失误。另一方面是选择合适的解题方法的能力。方法选的合适，不但使问题可以解决，而且能使问题的解决过程变得十分简捷，方法的选择也是极具灵活性的。

对解题过程的评价反馈能力是指：①根据已经解得的部分结论，及时作出评估和预见，判断前面选择的解题策略是否正确，判断已经做的分析解答是否正确，做出下一步怎么办的决定：②在得出最终结论后，对结论作出评估，是否大致可信，是否和实际情况大致相符，如果不可信、不相符，则还须重新检查或审视前面的解答过程；③解答完后，对整个解题过程作出总结，形成“问题原型”，以便以后解决数学问题加以借鉴。

三、对应的教学策略

在分析和解决数学问题教学过程中，只有树立培养学生分析和解决数学问题的能力的观念。才能抓住教学的本质，给以学生可持续发展的能力；只有明确分析和解决数学问题能力所包含的内涵，才能将培养学生分析和解决数学问题的能力落到实处，减少教学的盲目性；只有掌握了具体的培养分析和解决数学问题能力的途径和方法，才能增强教学的针对性，使学生分析和解决数学问题的能力在课堂教学过程中，被潜移默化地培养起来。1、读审数学问题拿到题目后，先粗后细，先整体后局部地阅读，对整个题目的概貌做到心中有数：弄清题目中给出的已知条件是什么，追索题目中隐含的己知条件是什么，明确题目应达到的目标是什么。读审实质上是寻找解题信息，形成问题解决出发点的过程。

2、建构、丰富学生“问题原型”，并促进“问题原型”的迁移分析和解决数学问题的过程无外乎两种情形、第一种情形，在原有原型的启发下，结合具体数学情景，在原有模式下分析和解决所面临的数学问题；第二种情形，没有现成的“问题原型”可以作为借鉴，需要自己重新构建解题模式，需要有更多的创新思维参与解题活动。

在具体的教学过程中，一方面，在对新的概念、原理的讲授时，不能简单地将概念、原理直接交给学生，然后做大量的习题，用以理解、内化刚刚接触的概念、原理。而应该花更多的时间在概念、原理的产生过程上，尽可能地讲清楚形成的背景，是因为遇到什么困难或解决什么问题，而提出某个概念或原理，还要让学生了解概念、原理是怎样由假说通过实验验证加以修正，再实验验证再加以修正。最后才形成教材中呈现出的概念、原理。另一方面，在进行习题教学时，应选择衍生和再造性较强的例题，也就是通常所指的典型例题，保证为学生建构比较完备充分的“问题原型”库，具体要兼顾到以下几点：①既要有顺推法又要有逆推法解题思路：②解题常用的科学思维方法都应经常涉及到，例如，比较和鉴别、分析和综合、归纳和演绎、类比和联想、直觉等方法；③让学生经常接触到数学问题解决的一些特殊方法，例如，隔离法、整体法、守恒法、反证法、极端假说法、虚设法、等效法、图解法、极值法等。分析讲解时，更多是怎样引导学生运用已经掌握的原型来解决目前所面临的新的数学问题，帮助学生分析新的问题与已经掌握的原型之间的异同点，以原有的原型为基础结合新的问题情景衍生或再造出新的“问题原型”，随之数学问题便解决了。

3、让学生形成直觉判别的习惯、养成经常总结反馈的习惯在教学过程中。鼓励学生凭直觉大胆地进行猜测，先理出大致的总体的思路，再具体着手推理、运算；不断地纠正学生这样坏习惯：一拿到题目。匆匆读完后就进行具体的运算，只要方程能算出具体的数值就算出来再说。有了这种坏习惯的学生往往只见局部不见整体，解题时手忙脚乱，经常忙了很长时间后，才发觉是错的，由于考试时间有限，每道题目都蜻蜓点水般算几个简单的得数，感觉每道题目都会点，就是不能得分。使学生养成这样的习惯：在理清思路后，运用所学知识、原理、方法列出数学方程，然后作出评价决断，判断所列方程是否正确，判断问题所包含的数学情景是否都已经表达出来了，判断所列方程是否可解，判断是否还有补充方程，最后，才是具体运算，得出答案。

4、培养学生数理结合意识、熟练使用常用的数学工具、迅速估算的能力分析和解决数学问题的过程实质上。是运用所学的数学知识和原理，将问题给出的数学情景，抽象或简化成各种要领模型和过程模型，用数学化的公式或方程表达出来，最后运用数学知识解得结果，在教学过程中，培养学生的这种意识非常重要，很多学生只知道背公式、方程，解题时简单地套用公式，有时候问题解决了，也不知所以然，这次能得出答案，过一段时间再遇到又不会做了。有了数理结合的意识。分析、思考问题会比较透彻，容易抓住问题的实质，能够将解过的问题进行归类总结，形成“问题原型”能够做到举一反三、触类旁通。

此外，培养学生的估算能力也很重要，对于估算能力强的学生，评价自己的解题思路是否正确的速度会很快，这样有助于提高分析和解决数学问题的敏捷性、准确性。