动手实践与数学学习

　　动手实践是数学学习中最重要的方法之一，也是数学能力提高的有效途径。对于大力提倡积极培养动手能力的今天，作为数学教师必须深入研究动手实践是怎样作用于数学学习的，又是怎样使学生的能力得到提高的，对数学教学有什么启示?为此我们必须研究什么是动手实践?什么是数学学习?它们的关系怎样?
　　动手实践：可理解为有目的地具体操作，包括使用各种模型，如折纸，拼图，填充，画图，甚至计算等。与“坐以论道”相对立。 数学学习：是指学生对数学事实的认识，对于数学知识的主动建构，深入理解，具体使用和有效迁移的过程。 学生不是简单被动地接受有关信息，而是对外部信息进行主动的选择、加工和处理，从而获得数学知识的意义，学习的过程是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是由内向外的生长，而不是由外向内的灌输，其基础是学生原有的知识与经验。其中，包括在使用中学习。
　　
　　一、使用于课堂教学
　　
　　数学学习的主渠道是课上，所以首先研究动手实践是怎样作用于各个教学环节的：
　　
　　1．激活学生原有的知识与经验
　　如在多边形内角和一课中，可用已知三角形一外角，求不相邻的两内角和，来激活关于三角形的知识和解题经验为解决四边形的概念和内角和打好基础。又如利用折叠求三角形的内角和。
　　
　　2．数学问题情景的构建
　　如用两块三角形纸版来拼四边形，启发学生：四边形可以分割为三角形，或在三角形外加两条边生成四边形，也可以要求学生画—个三角形，用—条直线截两边生成四边形，求四边形内角和是多少?
　　
　　3．新知识点的生成
　　首先，类比三角形相关概念生成多边形相关概念。近而由三角形内角和生成四边形内角和。而对五边形，六边形却没有这么简单了，在动手实践时，对它们的分割则要考虑不同的情况：既可以由三角形内角和生成；也可由三角形及四边形(或五边形)的内角和联合生成五边形(六边形)内角和，这里所含有的知识点多了。如三角形的个数和边的关系，三角形的个数和对角线的关系等等。当生成为n边形时既要考虑三角形问题也要考虑代数式的结构形式，甚至用逻辑推理才能得到。
　　
　　二、运用于数学能力的培养
　　
　　培养数学能力是数学教学最主要的目标之一，没有这个目标就失去了数学教学的意义，而动手实践：
　　
　　1．有利于技能的训练
　　画图，作图，计算(包括代数运算，解方程等)的熟练程度必须通过多次动手实践才能达到，这是形成基本数学素养的基础。
　　
　　2．有利于空间想象能力的形成和伸展
　　空间关系(包括线线，线面，面面关系)，图形变换(包括平移，旋转，对称，分割，组合，构造等)甚至从不同角度观察图形都必须经过动手实践才能在头脑中形成各种形象，它们的关系会逐渐清晰，才能认识和使用这种图形语言。如，用三角形生成四边形，四边形生成五边形；又如，正方体的表面的折叠，截面的形状，都应该画一画，折一折，甚至把模型用刀切一切。才能体验图形的形状和位置。
　　
　　3．有利于解决问题策略的构建
　　对于实际问题只有通过动手实践才能构造合适的数学模型，在这里实践的含义包括有验证的意义。
　　对于较复杂的数学问题通过画一画，算一算，折一折，有可能找到解决问题的切入点，从而将复杂问题转化为简单问题，解决过的问题，形成比较合理的解答步骤或程序，内化为经验。如，在矩形中作一个正三角形问题，不妨动手画一画，折一折，才能找到矩形的边满足什么条件时，这个正三角形的边最大?
　　
　　4．有利于逻辑推理能力的训练
　　表面上动手实践与逻辑推理没有什么关系，但是好多命题证明的思路和方法受到动手实践的启迪得到的，如，在证明多边形内角和的公式时，就是受到四边形可以分割成为两个三角形的启发，将n边形分割成为n-1个三角形来证明的(分点落在一条边上)，等等，而且逻辑推理能力确需要多次实践，多次重复，甚至需要反复纠正才能形成．同样，受n-1边形生成n边形的启发，我们可以得到下面的证明：
　　
　　设n边形的内角和为S，则n-1边形的内角和为S，……，五边形的内角和为S，四边形的内角和为S，三角形的内角和为S，得到，
　　S-S=180°
　　……
　　S-S=180°
　　S-S=180°有共n-3个等式，两边同时相加，即得
　　S=(n-2)180°
　　这里，使用了代数运算进行证明。
　　
　　三、使用于数学发现和创新
　　
　　这里的含义主要是指“再创”性的，不一定是“原创”性的
　　
　　1．一些几何性质的发现
　　如，平行四边形对应边相等，对角线互相平分；圆的对称性等，都可以用相应纸型经过平移，旋转，折叠等方法发现。
　　
　　2．有些概率与统计方面的重要结论的发现
　　如，统计现象的规律只有通过一定规模的计算才能发现，没有动手就没有认识、理解和分析。又如，只有通过动手操作才能发现有些随机事件的概率可以用样本的频率来替代。
　　
　　3．动手实践有利于对新理论的理解
　　如，无理数的存在性只有经过大量的计算，甚至通过画图才能理解。
　　
　　四、对数学教学的启示
　　
　　我们的数学教学应该遵循学生的认知规律和已有经验来进行：
　　1．首先研究我们输出的数学信息能否被学生已有的认知结构所接纳，否则就要用各种手段，包括动手折一折，画个图，算一算等来激活它，其前提条件是分析所提供的数学知识结构和学生已有的经验，找到连接点。
　　2．如果学生的认知结构有缺欠，就应该使用各种方法来补充，然后才能进行正常教学。如空间想象不足，就用相关的几何模型的各种角度来观察，摸一摸，画一画来补充。
　　3．对于不同内容就要用不同的教学方法，要分清不同的建构特点，是同化还是顺化，同化是在相同领域内用若干个知识点去构建新的知识点，顺化是结合不同领域的内容产生新的知识点，对于后者更需要实践的背景和手段。如，由三角形到四边形以至多边形是同化，有理数，实数，建立坐标系等是顺化。
　　
　　五、需要说明的问题
　　
　　动手实践不是万能的，应该具体问题具体分析：
　　1．在数学学习中使用动手实践应该是有目的的，是从认识出发——加深理解——形成技能或能力——提高素质——有利于解决问题。
　　2．不要把动手实践代替数学学习，许多数学思想必须独立思考方能得到，不同的问题要使用不同的方法，不可滥用。
　　3．动手是在思想的支配下，动手实践是为了更好地动脑，善于动手，善于动脑两手都要硬，不可偏废。
　　(责任编辑：张华伟)
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