山重水复探试题奥秘 柳暗花明显创新思维

摘要：2024年高考数学天津卷第19题是一道数列大题，以等比数列为背景，通过递推关系将等差数列融入其中，考查数列基本概念和公式，涉及与数列有关的数列通项、不等量关系证明、数列求和等问题，综合考查学生解读数学语言和分析数学问题的能力.

关键词：数列求和；不等式证明；数学核心素养；创新思维

2024年高考数学天津卷第19题将等差、等比这两种基本数列融为一体进行考查，试题设问层层递进，呈现形式新颖，引导学生研究数列量与量之间的基本关系，综合考查学生解读数学语言和分析数学问题的能力.学生在解题时易有山重水复疑无路之感，需要静心探索数列的特点和规律，发挥创新思维，才能走出困境，欣赏到柳暗花明又一村之美景.

1 题目呈现

已知数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn.若a1=1，S2=a3－1.

（1）求数列{an}前n项和Sn；

（2）设bn=k，n=ak，bn－1+2k，aklt;nlt;ak+1，

b1=1，其中k是大于1的正整数.

（ⅰ）当n=ak+1时，求证：bn－1≥ak＼5bn；

（ⅱ）求∑Sni=1bi.

2 试题解析

2.1 第（1）小题的解析

该问可以将已知项及前n项和的数量关系，转化为等比数列基本量之间的关系，通过解方程组求得a1和q，再求和.在转化S2时，

二维码1

可以考虑用Sn的定义式，得到S2=a1+a2，还可以使用等比数列的前n项和公式得到a1与q的关系，但要注意分类讨论公比q与1的大小关系，故而产生两种不同的解题思路.（详解见二维码1）

2.2 第（2）小题中第（i）问的解析

由数列{bn}的定义，先求出当n=ak+1时bn的表达式.由（1）可知ak=2k－1，且k∈N*，k≥2.

在{bn}定义式中，当n=ak=2k－1时，bn=k，所以，当n=ak+1=2k时，bn=k+1.

关于bn－1表达方式的突破是这一问的难点所在.解题中需要明确这是一个插项问题，在哪两项之间插项以及插入项的特征是需要深入考虑的.由于要证明的不等式中含有两个变量，所以思考能否通过减元的方式将问题转化为只含有一个变量的不等式的证明.由于bn，ak都可以用变量k表示，所以此时只要再求出bn－1如何用k表达，第（i）问即可突破.

思路一" 观察法——列举归纳

当抽象思维受到限制，不能很好地理解题目所给的递推关系时，可以利用具象思维的优势，逐一列举数列{bn}中的项（如表1），观察其特点，寻找bn－1随n的变化规律，归纳总结获得bn－1.在列举的过程中，根据列举结果化简形式的不同，又会得到以下不同的思路.

化简整理，得到bn－1=（2k－1）k.

列举法是从特殊到一般的思维方法，是形象思维和抽象思维的相互转化.

根据数列{bn}的定义，当n=ak+1=2k时，bn=k+1，则aklt;n－1lt;ak+1，所以由递推关系可得以下思路.

思路二" 定义法——通项公式

由已知可得bn－1=bn－2+2k，所以数列{bn}中的第ak项到第ak+1－1项（即第n－1项）构成公差为2k的等差数列，故有bn－1=bak+（n－1－ak）×2k，即bn－1=k+（2k－1－2k－1）×2k=（2k－1）k.

思路三" 迭代法——逐层转化

根据递推关系，知道bn－1可以向前层层迭代至确定项bak，最终转化为与已知项bak有关的式子，进而求得bn－1.

依题意，bn－1=bn－2+2k=bn－3+2×2k=……

=bak+（n－1－ak）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

思路四" 累加法——递推化归

根据递推关系，通过累加法求得bn－1.

法1：依题意，得

bn－1－bn－2=2k，

bn－2－bn－3=2k，

…………

bak+1－bak=2k.

将以上2k－1－1个式子累加，

得

bn－1－bak=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

法2：

由于已知n=2k，因此可以将递推关系bn－1=bn－2+2k消元为仅含k的式子进行累加.

依题意有b2k－1－b2k－2=2k，

b2k－2－b2k－3=2k，

…………

b2k－1+1－b2k－1=2k.

将以上2k－1－1个式子累加，得

b2k－1－b2k－1=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=b2k－1=（2k－1）k.

通过前面的解答已经用k表达出了bn和bn－1，所以不等式bn－1≥ak＼5bn可以转化为只含有k的不等式.接下来可以用证明不等式常见方法“作差（商）法”完成证明，还可以考虑用分析法将目标不等式转化为其他易证的形式.另外，

二维码2

由于该不等式与数列知识相关，因此还可以考虑用数学归纳法予以证明.结合以上分析可得三种思路及不同证法的思维导图，如图1.（详解见二维码2）.

2.3 第（2）小题中第（ii）问的解析

由于数列{bn}结构复杂，因此考虑能否将其变形为特殊数列后再求和.结合前面的分析可知，数列{bn}分段成等差数列，所以首先想到的处理方式是利用等差数列求和公式对第ak项到第ak+1－1项先进行并项处理.

思路一" 分段并项

由（1）可知，Sn=2n－1=an+1－1.

由题意，知∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=∑nk=1（b2k－1+……+b2k－1）.

下求b2k－1+……+b2k－1.

法1：基本量公式求和.

从b2k－1到b2k－1共有2k－1项，则

∑2k－1i=2k－1bi=

k＼52k－1+2k－1（2k－1－1）2＼52k=k＼54k－1.

法2：首尾项公式求和.

每段的尾项为k+（2k－1－1）＼52k=k＼52k－k，则

∑2k－1i=2k－1bi=2k－1［k+（k＼52k－k）］2=k＼54k－1.

所以∑Sni=1bi=∑nk=1（k＼54k－1）.

思路二" 分组求和

若未发现数列{bn}分段成等差数列这一特点，则还可以利用分组求和进行变形处理.

∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=1+［2+（2+2×2）］

+［3+（3+2×3）+（3+4×3）+（3+6×3）］

+……+{n+（n+1×2n）+（n+2×2n）+……+［n+（2n－1－1）×2n］}

=（1×1+2×2+4×3+8×4+……+2n－1×n）+{1×（2×2）+（1+2+3）×（2×3）+……+［1+2+3+……+（2n－1－1）］×（2n）}

=∑nk=1（k＼52k－1）+∑nk=2［k＼5（4k－1－2k－1）］=∑nk=1（k＼54k－1）.

经过以上两个思路处理后，求数列{bn}的前Sn项和就等价于求差比数列{k＼54k－1}的前n项和，可以采取以下两种解法.

解法1：错位相减法.（略）

解法2：裂项相消法.

设k＼54k－1=［λ（k+1）+μ］＼54k－（λk+μ）＼54k－1

=［3λk+（4λ+3μ）］＼54k－1.

比较系数，得3λ=1，4λ+3μ=0.

解得λ=13，μ=－49.

故

k＼54k－1=13（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1.

于是可得，

∑Sni=1bi=∑nk=1k＼54k－1

=∑nk=113（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1

=－13×1－49＼540+13×（n+1）－49＼54n

=（3n－1）4n+19.

3 小结

问渠哪得清如许，为有源头活水来.观察天津市近几年的高考题可以发现，数列题的命题方式一脉相承，通常每题设置3个小问题.第（1）问均为等差（或等比）数列基本量的计算.第（2）（3）问的设问基础是以新概念定义的方式给出一个新数列的递推公式，考查学生解读数学语言和分析数学问题的能力.在此基础上第（2）问考查等量关系或不等量关系的证明，第（3）问考查数列求和问题.其中数列求和的考查形式也从以往单一的一种求和方法转变为不少于两种求和方法的考查，并进一步进阶为近三年考题中出现的先利用并项法对数列的项进行变形处理，然后再运用其他常见方法求和.其中并项这种处理方法在2016年、2019年的天津市高考题中都有出现，在2022-2024年这三年的出现其实可以看作老高考在新高考中的延续.

2024年的高考第19题的命题方式延续了天津市以往“低起点、高观点”的命题风格，在考查数列“四基”的同时，考查了学生对具有抽象性、简洁性等特点的数学语言的理解能力，综合考查了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等学科核心素养［1］.其目的在于鼓励教学注重培养学生的创新意识和探索精神，对打破固化僵化的复习模式、破除备考中的单纯套路训练和“机械刷题”现象具有积极的影响，有助于引导教师在教学中把握数学本质，回归课本，有利于促进学生关键能力与数学核心素养的提升［2］.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.