注重教材与原创：高中数学模拟试题命制趋向

【摘 要】 在新高考十年数学学科面临新的挑战和转向的背景下，高中数学模拟试题命制要注重教材与原创的趋向.基于高考真题教材题源依标命制模拟试题，基于教材训练系统调控模拟试题难度，使得模拟考试发挥真正的诊断和评价功能，助力以考助教、诊断教学和服务教学提质增效.

【关键词】 高中数学；试题命制；原创命题；注重教材

一直以来，各地不同区域联考、校级联考的高中数学模拟试题层出不穷，既有优秀的“网红”试卷，也出现了一些“走偏”现象，比如考查目标与考查内容“经验主义”，现成试题中拿来就用，命题技术不成熟等^[1].笔者十余年来一直多次参与湖北省内部分地市的模拟考试数学学科命题、审题工作，也一直在组织笔者所在区域的高中数学学科原创命题竞赛，深深感觉到命题技术对数学教师专业素养提升的重要意义，特别是在新高考十年数学学科面临着新的挑战和转向的背景下，高中数学模拟试题命制也要改变以往的趋向.

1 考教衔接与模拟试题命制现状

1.1 考教衔接与引导教学

党的十八大以来，教育部考试院在总结高考内容改革成效中指出，高考已经由“以纲定考”转变为到“考教衔接”.考教衔接第一要求是高考命题要遵循课程标准，引导中学依标教学^[2].同时强调高考命题严格依据是高中课程标准，要确保“内容不超范围、深度不超要求”，考试与教学的衔接越紧密、越一致，教师、学生的负担就越轻松.

1.2 模拟试题命制的现状

毫不夸张地说，对于一届学生和老师来讲，其所经历的模拟考试次数达到几十次甚至上百次.很多时候，模拟试题命制者命题时经常在题库或一些辅导资料中选择所谓的“好题”进行改编组卷，过度模仿高考的选拔功能，而忘记了模拟考试的诊断功能，忘记了其属于平时教学过程性评价的一环，目的是助力以考助教、诊断教学和服务教学提质增效.也有很多时候模拟考试命题更多的是基于命题者的“命题经验”，忽视了遵循课程标准的内容要求和教学要求，没有从学生学习的学情出发，也没有从教材本身的训练系统和经典例题着手，去研究教材，挖掘教材，利用教材.关于模拟试题命制如何更好地注重教材与原创的趋向，笔者就最近高一学年期末大型联考的数学科试题命制经历进行阐述.

2 基于高考真题教材题源依标命制模拟试题

2.1 试题命制体现高考考点和教材的联系

近几年高考数学试题表明，通过“反套路、反二级结论”等手段不断降低“机械刷题”的收益^[3].从而十分有必要以高考试题考点为导向，建立高考考点和教材的联系，加强对教材典型问题的研究，通过模拟试题命制促进一题多解、一题多变，深化学生思维能力.

【高考考点】（2024年新课标Ⅰ卷第7题）当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为（" ）.

A．3"" B．4"" C．6"" D．8

此题考查三角函数的图象及性质，需要运用“五点作图”在同一个坐标系内画出函数图象，从而确定交点个数，此题与人教版教材必修第一册第237页例1一致，并且数据相同，因此，针对“初等函数的图像交点”和“五点作图”的知识点，可从教材出发进行试题命制.

【试题命制1】 当x∈（0，2π）时，曲线y=2+cos x与直线y=13x的交点个数为（" ）.

A．2"" B．3"" C．4"" D．5

虽然笔者是受高考启发针对高一学年期末考试而命制的三角函数选择题，但所涉及知识点比较简单和基础，根据考试范围和细目表要求，此题的命制是重点考查学生对三角函数的掌握情况.考试结果（此次考试实际上参考人数为13万余人）说明此题得分为2.62，难度系数0.52，满分率为0.52，零分率0.48.这说明学生对于基本初等函数图象缺少更深一步的理解，只有一半的学生能达到教学目标.

对于三角函数的“五点作图”也是教材中一直强调的，在具体作图时教师可能认为很简单，学生也可能习惯地知道要取（x=0，π2，π，3π2，2π）的值，若试题命制与具体数学情境和数据表格结合，可更好地考查学生的数学运算和逻辑推理素养.

【试题命制2】 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动.若某阻力器离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间x（单位：s）满足函数关系：y=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0，|φ|＜π2），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a，b，c，d为未知数），则下列有关函数y=f（x）的描述正确的是（" ）.

A．函数f（x）的图象关于点（163，0）对称

B．函数f（x）的图象可由函数y=Asin ωx向右移平移13个单位得到

C．函数f（x）的图象上相邻的最高点与最低点的距离为4

D．函数f（x）的图象与函数y=3cos（π2x+π3）的图象重合

此题依然是基于数学教材中的三角函数伸缩变化模型，根据表格中的数据分析可以很快得到函数表达式f（x）=3sin（π2x-π6），接下来就是根据其具体图象将三角函数性质、伸缩变化以选项的形式进行考查，正确答案为BC.然而考试结果表明此题均分仅为1.67，难度系数0.27，满分率0.07，零分率0.52.根据现在多项选择题的赋分规则，也就是52%的学生答案中选择了A或D，也说明学生可能会“五点作图”的步骤，但对于作图后最基础的三角函数图象性质理解存在一定的偏差，这可能要归因于教学中对教材例题的研究不深入或者是套路式刷题带来的“弊端”.

2.2 试题命制体现对教材素材的原创开发

一份试卷被高度关注的部分主要还是原创试题.基于高考试题形式和课标教学内容的要求，对教材素材的原创开发，既体现了对教材的注重与研究，也体现了教师的专业素养.

【教材素材】（人教A版必修二54页第22题）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C+3asin C-b-c=0.

（1）求A；

（2）若a=2，则△ABC的面积为3，求b，c.

这道习题应该是教材“平面向量应用”这章节复习题中的必做题和必讲题，甚至以此进行的一系列的变式解题教学都无可厚非，因为多年来这道题一直是解三角形专题的高考题源，也是2024年新课标Ⅰ卷15题的题源.模拟试题命题若将此题进行原创开发，对引导学生注重教材有着重要意义.

【试题命制3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b最大，sin A-cos C=2cos B sin（C+π3）.

（1）求B；

（2）若AC边上的高为4，求△ABC面积的最小值.

这样的题型很多情况下第一问要求的一般都是特殊角（π6，π4，π3等），因此考生很多情况下有心理准备.此题命制意图是要跳出考生的心理预期，呈现反套路，在B=π2的前提下，进行三角恒等变换和问题设置，从而可以在直角三角形中固定斜边上的高，来讨论三角形面积的最值.第一问是简单的三角恒等变换，考查通性通法，第二问主要考查学生“解决问题”能力，方法较多.

法1：设△ABC面积为S，S= 12×4×b=2b，因为B=π2，所以b2=a2+c2，又S=12ac，所以4b=ac，所以b2=a2c216≤a2+c22216=b464，所以b≥8，当且仅当a=c时取等号，所以S=2b≥16，△ABC面积的最小值为16.

法2：由AC边上的高为4，可得sin A=4c，即c=4sin A，同理a=4sin C=4sin（π2-A）=4cos A，S△ABC=12ac=162sin A cos A=16sin" 2A≥16，当且仅当A=π4即a=c时取等号.

法3：作斜边CB上的高AD，S△ABC=12BC·AD=12（BD+DC）·4=2（BD+DC）≥4BD·DC

由Rt△ADB∽Rt△CDA，知BD·DC=AD2=16，所以S△ABC≥4BD·DC=16，当且仅当BD=DC时取“=”号.

值得一提的是，在此题考后的质量分析中有学生表示，在算得B=π2后还有些不相信，一直验算了两遍.也有老师在没做第一问的前提下，看到第二问直接断定第二问实在太难了，估计学生不好下手.事实上，在直角三角形条件下，学生的思维更发散，更能运用已有的基础知识进行解题，第二问解法中的法3就是学生想出来的.

可见这处教材素材十分重要，经典模拟试题也很多，也不乏根据三角形的边长运算进行原创，比如下面是笔者曾经在湖北省七市州考试命题时的一次尝试.

【试题命制4】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C-b-c2=0.

（1）求A；

（2）若a=3，求b+2c的取值范围.

2.3 试题命制基于教材原始情境再融合创新

对数学学科创新性的理解并不统一，从高考试题来看，创新性强调独立思考和创新思维.在模拟试题命制时，可以尝试从教材原始情境出发，在试题内容和框架上进行再创新.

【教材原始情境】（人教A版必修一87页第13题）我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.求函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心.

【试题命制5】如图1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，BC=AA1=23，点M是平面ABC上的动点.

（1）若点M在线段BC上（不包括端点），设α是异面直线AC与B1M所成的角，求cos α的取值范围；

（2）若点M在线段AC上，求A1M+12MC的最小值；

（3）若点M在线段BA 上，作MN平行AC交BC于点N，Q是BB1上一点，满足MB+BQ =2.设MB=x ，记三棱锥QMBN的体积为V（x）.我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a ，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.据此，判断函数y= V（x）在定义域内是否存在x0，使得函数y=V（x）在（0，x0）上的图象是中心对称图形，若存在，求x0及对称中心;若不存在，说明理由.

这道试题的命制切入点将立体几何、函数性质、三角函数等诸多跨章节的知识点有机结合，实现了由熟悉情境到复杂情境的转变.解法多样灵活，基本功扎实的考生可以拿分，甚至拿高分；切实体现了转化与化归数学思维的核心作用和用所学知识方法解决问题的能力.这道试题命制既符合高一考生的实际，又突出了本次考试范围及整个教材的重点，被学校老师反馈为是一道有价值的试题且是试卷的亮点之一.

3 基于教材训练系统调控模拟试题难度

新课标试卷力图使大部分学生都能完成基础题和中档题，引导和鼓励更多的学生喜欢数学、

热爱数学、应用数学^[2].数学科确定了新的试卷难度预期和难度结构，制定了“低起点，多层次，高落差”的调控策略^[4].在模拟试题命制时，基础题和中档题在一份试卷中至少要保持在80%左右.同时，模拟试题的基础题和中档题应当参照教材训练系统的难度系数，才能够将“低起点，多层次，高落差”的试题特征体现在平时教学中.

3.1 试题命制立足学生学情，降低基础与应用的难度

在高一学年期末，学生学完必修二第九章“统计”部分后，根据联考进度，统计部分需要有一个解答题和多项选择题对学生的学习效果进行检验.根据课标要求，“统计”单元的学习是要帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法.频率分布直方图和样本估计总体自然是基础和重点，而作为期末统考中不多的统计学内容，直方图中“拖尾现象”在教材中作了比较详细的阐述，也在2024年新课标Ⅱ卷中以数据分析的形式进行了考查，更加说明了其重要性.另外，教材中多次提到分层抽样均值和方差的推导，课后习题也多次提到学生身高统计、居民用电量消费模型，从而可以分别针对这两类案例基于教材习题训练系统的基础知识倾向和难度引导进行试题命制.

【试题命制6】某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：cm）并整理得到下表：

据表中数据，下列说法正确的是（" ）.

A．该校高一年级男生身高的中位数小于170 cm

B．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同

C．该校高一年级男生身高的极差介于15 cm至25 cm之间

D．该校高一年级男生身高的平均数介于170 cm到175 cm之间

此题是在统计学生身高数据的情境下，将样本的数据特征设置在各选项中.虽然数据以表格形式给出，但也暗示了频率分布直方图存在“左边拖尾”现象，那么和中位数相比，平均数总是在长尾巴那边.

【试题命制7】某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局对该市所辖A，B，C三个区域的第二档居民用户按比例2∶2∶1进行分层随机抽样100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW·h），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.

（1）求m的值;

（2）若去年小明家的月均用电量为234 kW·h，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？

（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差24.2；B区样本数的均值为223，方差为12.3；C区样本数的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户的月均用电量方差.

此题来自教材两处数据背景：第一处选自必修二复习参考题9的223页第11题中某市200户月均用电量的统计，第二处是197页的练习第1题某小区100户居民月用电量的频率分布直方图.结合数据和频率分布直方图，将百分位数与三层分层抽样方差的计算作为考点，使得学生在解题时有知识基础，特别是学生在三层分层抽样方差的计算时，已经有了二层分层抽样的经验，只需在二层分层抽样的基础上进行推广和应用即可，不需要学生死记公式，从而降低了试题的难度.

3.2 试题命制聚焦数学思维，注重难度区分能力差异

任子朝在总结新高考近十年数学学科内容改革的挑战中指出，在考试对中学教学的有效导向下，教学要帮助学生自主思考形成稳健的逻辑推导，数学思维^[4].2024年新课标Ⅰ卷也表明，典型的、体现数学思维价值的试题增加，特别是在具有压轴性质填空和解答题，数学思维的差异就是能力的差异，也是区分不同层次学生的手段.在模拟试题命制时，最好是从教材的素材出发，从学生熟悉的情境中将数学思维和数学思想进行推广和应用，让学生经历从熟悉数学情境到复杂数学情境的变化过程，经历逻辑推导的具体过程，形成独立自主的数学思维.

【试题命制8】设x∈R，m∈Z，若-12＜x-m≤12，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.另外，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.5]=-3.令f（x）=［x］-x，g（x）=x-{x}，当x∈［-2 024，2 024］时，若存在xi（i=1，2，…，n）满足f（xi）=g（xi），那么12 025∑ni=1xi="" .

解法1：由题意f（x）与g（x）为偶函数，只需考虑x∈［0，2 024］的情形，

f（x）=-x，0≤x＜1，1-x，1≤x＜2，2-x，2≤x＜3，…g（x）=x， 0≤x≤12，x-1，12＜x≤32，x-2，32＜x≤52，…

在坐标系中画出其图象为

所以xi=i（i=0，1，2，…，2 024），

12 025∑ni=1xi=12 025（0+1+2+…+2 024）=12 025·2 024·（1+2 024）2=1 012.

由偶函数对称性可知，12 025∑ni=1xi=2×1 012=2 024.

解法2：因为f（x）=［x］-x，g（x）=x-{x}，令f（x）=g（x），则［x］-x=x-{x}，即2x=［x］+{x}，因为［x］，{x}均为整数，所以2x为整数，从而x只能为整数.由f（xi）=g（xi），所以x∈［0，2 024］时，xi=i（i=0，1，2，…，2 024），

12 025∑ni=1xi=12 025（0+1+2+…+2 024）=12 025·2 024·（1+2 024）2=1 012.

由偶函数对称性可知，12 025∑ni=1xi=2×1 012=2 024.

对于“定义[x]表示不超过x的最大整数”是教材课后练习中的题干条件，学生并不陌生，属于熟悉的情境.然而，接下来此题根据类似概念新定义“离实数x最近的整数”，让学生有比较，有思考，需要推广和应用“取整”的概念.作为填空题压轴题，稳健的逻辑推导和数学思维至关重要.解答过程表明，不同的数学思维体现不同的数学运算量，特别是在解法二中，对自主思考与逻辑推理的要求较高，真正体现了数学思维中“多考一点想，少考一点算”的理念.

4 结束语

试题命制需要考虑的原则和因素很多，整体而言，一线教师的实际命题水平尚不高^[1]，就笔者所在区域的高中数学学科原创命题的开展情况而言，也确实如此.但在新高考背景下，就试题的内容和结构而言，注重教材与原创将是高中数学模拟试题命制趋向.特别是在新时代普通高中育人方式改革和“考教衔接”的背景下，命题技术已经是教师专业素养的重要组成部分，是教师亟待提升的业务能力.因为试题命制可以引导教师形成“做题—反思—归类—命题”的专业习惯，引导教师形成“评价体系—课标—高考—教学”的研究习惯，引导教师形成“ 立足基础—教材—对比—创新”的读书习惯^[5].

参考文献

[1]丁益民.当前高中数学试题命制存在的问题与建议[J].数学通讯，2021（20）：910，19.

[2]教育部教育考试院.优化试卷结构设计 突出思维能力考查：2024年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2024（7）：7985.

[3]赵轩，翟嘉祺，郭淑媛.高考数学科面临的关键问题与解决路径[J].课程·教材·教法，2024，44（6）：147151.

[4]任子朝.新高考十年数学科考试内容改革：成就、挑战与转向[J].中国考试，2024（7）：1118，63.

[5]周威.区域内高中数学原创命题活动的实践探索[J].教育与装备研究，2023，39（10）：9296.

作者简介 周威（1985—），男，中学一级教师，硕士，湖北省恩施州教育科学研究院高中数学教研员；研究方向为教育评估与高中数学教育；发表论文90余篇，出版专著和主编高考辅导书各1本.