凸显数系扩充过程 强化核心素养导向

摘" 要：有理数及其运算是中小学数学课程的核心内容. 人教版新教材为了引导学生深度经历数系扩充过程，强化核心素养导向，修订了知识呈现方式，规范了运算体系架构，增加了“图说数学史”等栏目. 现从新知布局、内容变化、栏目特色等方面，对有理数及其运算内容修订前后进行比较、分析，深入剖析新教材的编写意图，同时提出教学建议.

关键词：有理数；数系扩充；抽象能力；运算能力；教学策略

中图分类号：G634" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0007-05

引用格式：王飞兵. 凸显数系扩充过程" 强化核心素养导向：人教版新旧教材有理数及其运算内容的比较分析及教学启示［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：7-11.

自《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）颁布以来，初中数学的教学方式已经发生改变，2024年发行的人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“新教材”）更是与时俱进地为数学教学变革提供了重要抓手. 数学教学要深化素养立意，凸显学科育人价值，就要在理解《标准》、理解新教材的基础上进行教学. 现对比新教材与2012年人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“旧教材”）中有理数相关内容，分析修订原因并提出教学建议，与同行分享、交流.

一、有理数及其运算的地位与作用

有理数及其运算是“数与式”主题中的重要内容，也是学生进入初中阶段首先接触到的新知识，它是联系小学阶段算术与初中阶段代数内容的桥梁. 负数的引入将学生认识的数扩大到了有理数，学生将首次经历数系扩充的过程，体会数系扩充的重要思想. 《标准》在学段目标中对有理数和实数提出了“经历有理数、实数的形成过程，初步理解数域扩充”的要求. 有理数的运算是有理数系的核心，探究有理数的运算蕴含着学科育人价值，即在小学的基础上进一步发展学生的数感、抽象能力与运算能力. 有理数及其运算的研究内容、研究思路、研究方法是学生后续学习无理数、实数的基础，也为研究代数式的形式化运算提供了一般观念和思维方式，它也是学习方程、不等式和函数等代数知识的基础. 依据《标准》对教学内容的新要求，“有理数及其运算”的教学内容不仅地位重要，而且与运算能力、抽象能力、空间观念、几何直观、创新意识、应用意识等核心素养表现形式关联密切，能较为全面地体现发展“三会”的数学核心素养要求.

二、新教材的变化及原因分析

为了更深刻、高效地落实《标准》的理念，导向核心素养的达成，新教材对有理数及其运算的新知架构、核心概念呈现方式、算法归纳等方面进行了全面修订.

1. 调整了新知架构，更加契合学生的认知基础

从结构上看，新旧版本教材的差异较大，新教材七年级上册将有理数及其运算的教学内容分为两章，如表1所示.

表1" 人教版教材有理数内容新知架构对比

[新教材 旧教材 第一章“有理数” 第二章“有理数的运算” 第一章“有理数” 1.1 正数和负数

1.2 有理数及其大小比较 2.1 有理数的加法与减法

2.2 有理数的乘法与除法

2.3 有理数的乘方 1.1 正数和负数

1.2 有理数

1.3 有理数的加减法

1.4 有理数的乘除法

1.5 有理数的乘方 ]

通过对比发现，作为七年级的起始章，旧教材七年级上册第一章的教学内容确实较多. 学生既要经历有理数的产生过程，学习有理数的相关概念，又要探究其运算法则与运算律. 同时，由于小学阶段对负数没有进行严格的表述，七年级学生缺少负数的学习基础，将诸多学习重点安排在同一章，对刚进入初中阶段的学生形成了较大的挑战. 新教材将原“有理数”一章的内容分为前后相连的两章，将有理数及相关概念的理解与有理数的运算两个重点分散，既保证了有理数内容的整体性，又给予了学生更多适应初中学习的时间与空间. 这种安排不仅契合学生的认知规律，能引导学生经历从结构化的视角自主构架知识体系的过程，也有利于教师在教学中循序渐进地分段突破教学难点，逐层渗透数系扩充的思想，突出对学生运算能力与推理能力的培养.

2. 规范了概念表述，进一步体现数学知识的严谨性

数学概念是学生数学思维形式的基础，它能抽象地反映某一类事物内在的本质属性，其表现形式必须准确、简明. 数学法则也需要精准地描述数学对象的性质与关系.

（1）改进了有理数的概念.

有理数是“数与代数”领域的重要概念. 在确定有理数概念时，不仅要体现有理数的本质，还要适应学生的认知水平.

旧教材中给出“整数与分数统称为有理数”，这种描述方式只是从形式上对有理数进行了说明. 例如，整数2可以写成分母为1的分数[21]，从形式上来讲2也是分数，由此产生了认知冲突. 新教材中将有理数的概念描述为“可以写成分数形式的数称为有理数”，避免了上述认知冲突.

从本质上讲，有理数就是可以比的数，可以写成一个整数与另一个非零整数的比，因此有理数就是有限小数或无限循环小数. 但由于学生还未接触到有理数的除法，所以存在理解上的难点. 新教材中的“可以写成分数形式的数称为有理数”，更贴近数学本质. 在第二章学习有理数的除法时，教材中又对有理数的概念进行了更为规范的表述：“形如[pq]（[p，q]是整数，[q≠0]）的数都是有理数.” 对比发现，新教材分两章逐层深入地引导学生剖析有理数这个核心概念，不仅符合学生的认知特点，也渗透了概念的本质，将教材的可读性与数学知识的严谨性进行了完美统一.

（2）修正了数轴的概念.

数轴是辅助学生从形的视角理解有理数及其运算的重要载体，体现了数形结合思想. 旧教材中规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向. 这种描述值得商榷. 首先，数轴上的相对位置是基于正负分类的需要，而不是空间位置的左右或上下；其次，在学生未学习平面直角坐标系之前，接触到的数轴都是水平的，无法直观感知“向上或向下”方向的含义. 新教材在定义数轴时规定：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 这种表述方式既从形的视角规定了“具有相反意义的量”的表示方法，又凸显了数轴的意义与作用.

（3）完善了有理数的运算法则.

运算法则是为刻画运算结果而人为规定的运算操作流程，既要陈述操作过程，又要严谨、准确地说明运算结果.

由表2可知，新教材对法则的描述更为精准. 加法法则与乘法法则虽然只是算法，但不能只强调操作方式，更要规定运算结果的形式. 因为从本质上讲，加法法则与乘法法则的目标就是规定两数“和”与“积”的形式. 新教材在规定法则时，清晰、准确地界定了两个有理数相加（或相乘）所得和（或积）的符号与绝对值，而原来的表述则对运算结果关注得不够，更像是对操作流程的说明.

表2" 有理数加法法则、乘法法则的描述

[ 新教材 旧教材 有理

数的

加法

法则 1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.

2. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0.

3. 一个数与0相加，仍得这个数 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0.

3. 一个数同0相加，仍得这个数 有理

数的

乘法

法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，都得0 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数与0相乘，都得0 ]

在有理数系（域）中，有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数. 为增进学生对数系扩充后有理数四则运算封闭性的理解，引导学生从系统的高度理解有理数运算的意义，新教材在归纳有理数的运算法则之后，增加了运算封闭性的说明，如“显然，两个有理数相加，和是一个有理数”；归纳有理数减法法则之后，也增加了一句话：“显然，两个有理数相减，差是一个有理数.”

（4）补充了有理数运算的符号化表达.

运算是代数的核心. 式的运算其实就是对符号进行形式化运算的结果. 为了更好地渗透数式通性，为后续式的运算作铺垫，新教材在给出有理数乘法法则时，补充了形式化表达. 设[a，b]为正有理数，c为任意有理数，则[+a×+b=+a×b， -a×-b=+a×b;][-a×+b=-a×b， +a×-b=-a×b ;c×0=0，][0×c=]0. 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数. 在本章小结时，也对有理数四则运算的封闭性进行了符号化表征.

3. 升级了拓展栏目，进一步拓宽教师的教学资源

除了正文之外，教材配置的拓展性资源是教学内容的重要补充. 为了更好地发挥数学学科的育人价值，多角度增进学生对新知的理解，新教材中对这些教学辅助资源进行了重组与升级，更新了“阅读与思考”“探究与发现”等栏目，增加了“图说数学史”栏目.

由表3可知，旧教材的拓展栏目均安排在有理数的运算之后，而对数的发展过程关注不够. 例如，“填幻方”旨在巩固有理数加减法的应用；“翻牌游戏中的道理”是有理数乘法的应用. 新教材将“用正负数表示允许偏差”安排在“1.1 正数和负数”之后，以阅读材料的形式展示现实生活中用正负数表示允许偏差的例子，说明负数在生活中的广泛应用，强化负数在表示相反意义的量时的重要价值，展现数系扩充的现实必要性.

表3" 拓展性栏目设置对比

[新教材 旧教材 第一章“有理数” 第二章“有理数的运算” 第一章“有理数” 阅读与思考：用正负数表示允许偏差；

图说数学史：漫漫长路识负数 阅读与思考：我国古代的正负数加减运算法则——正负术；

探究与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 实验与探究：填幻方；

阅读与思考：中国人最先使用负数；

观察与猜想：翻牌游戏中的数学道理 ]

“图说数学史”是新增加的栏目. 在引入负数之后，该栏目以“漫漫长路识负数”为主题，以时间轴画卷的形式，图文并茂地展现了与负数发展相关的重要历史节点，摘要式地呈现了中外数学家的重大贡献，这既拓宽了学生的知识面，为学生了解中国古代数学家在数的发展方面的杰出贡献提供了载体，又促进了学生在阅读数学简史的过程中体会数学的严谨性，感悟数学研究的曲折不易，从而发展学生的理性思维，辅助学生形成质疑、反思的学习品质，促进数学核心素养的发展.

学习了有理数的加法与减法后，为深化学生对加法法则和减法法则的理解，新教材修订了原“阅读与思考”栏目，重点分析了《九章算术》中的“正负术”. 学生通过本栏目的阅读，能从古人的视角理解加法法则与减法法则的合理性，在巩固新知的同时，培养了爱国情怀和民族自豪感. 对于较难理解的乘法法则，新教材则开发了“探究与发现”栏目，从数系扩充的视角引导学生理解有理数乘法法则的合理性.

4. 增加了综合与实践活动

为了辅助学生深度理解有理数及其运算，感受数学运算与现实生活的密切联系，新教材以“进位制的认识与探究”为主题，呈现了第一个主题式学习. 该活动旨在引导学生探究理解不同进位制的数之间的转换，掌握进制数的加法运算法则及其应用，体会运算法则的逻辑相容性与一致性. 该主题学习分为三个活动，每个活动又以问题串的形式层层递进，有序推进了活动任务群组的探究. 这种全新的学习方式不仅能激发学生的研究兴趣，让不同学生都有学习的代入感，更能促进不同思维层次的学生在分工、合作中有不同的学习收获.

三、基于有理数及其运算的教学建议

通过比较、分析可知，新教材在有理数及其运算相关内容的编排上变化较大. 教师在使用新教材时应该深刻领悟教材的编写意图，以核心素养为导向，提高教学实效.

1. 注重小初衔接，整体分析教学内容

《标准》要求教学目标的设定要体现整体性和阶段性. 这就要求教师对数及其运算的教学内容进行整体性分析. 实际上，学生在小学阶段学过的数及其运算的相关知识就是有理数及其运算，只是数的范围限制在正数和0. 因此，教师要有整体教学观，在教学过程中注重与小学阶段算术知识与方法的衔接，将负数的产生过程纳入自然数、分数的发展链中，整体展现数的发展历程，促进学生理解数的发生发展的必然性与合理性，理解有理数的概念与价值. 同时，对运算法则的抽象要基于正数与0的运算经验，辅助学生构建有理数运算的知识结构，让学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，为后续用系统思维探究代数运算作铺垫. 同时，整体分析并处理有理数及其运算的教学内容，有利于学生在探究过程中感悟数的研究的一般观念，即“定义新数—研究分类及性质—研究运算—研究运算律—计算应用”，为后续实数、复数的学习提供了先行组织者，促使学生学会学习.

2. 剖析知识本质，渗透数系扩充思想

在有理数及其运算的教学中，教师要关注学生对有理数概念本质的理解，引导学生借助数轴了解其有序性，理解运算的合理性，再从加、减、乘、除运算法则与运算律之间的联系出发，挖掘知识发生发展的暗线，辅助学生建立数的研究的知识结构.

在有理数及其运算的学习中，数系扩充思想将贯穿始终. 教师要引导学生深入浅出地感悟数系扩充思想，即扩大数集、拓展运算、保持运算律. 为了在生活中更简约地表示具有相反意义的量，也为解决减法封闭性的问题，引入了负数. 把数的范围扩大到有理数后，对新数集要研究其性质，比较大小，探究运算法则，研究运算律，要引导学生理解这是数系扩充大观念下的知识发展的必然逻辑.

当然，运算是数系扩充中的关键，具体体现在新数集中的运算法则必须与原数集中的运算法则保持逻辑一致，原数集中的运算律在扩充后的数集中仍然保持. 教学中，教师要秉承“将小学学习的运算推广到有理数范围内”的教学目标引导学生探究，不能另起炉灶. 例如，在有理数乘法法则的探究中，我们希望在有理数范围内，所有数都能像正数和0一样进行乘法运算，并使乘法运算具有一致性. 于是从两个正数相乘开始，先将一个乘数逐次减少1，直至这个乘数变成0、负数，再将另一个乘数也依次减少1，通过观察变化过程中积的变化来归纳积的形式，最后通过抽象与归纳得到有理数的乘法法则. 这种连贯性的探究方式能促进学生领悟“新法”包含“旧法”的道理，从而渗透数系扩充思想.

同样地，在数轴概念的教学中，也需要从数系扩充的视角进行引导. 例如，正数和0可以在一条直线上表示，负数可以在这条直线上表示吗？如何合理地标记呢？从而自然地抽象出数轴的三要素.

3. 采用归纳教学，发展学生的抽象能力与归纳能力

史宁中教授认为，我们通过抽象获得研究对象，又对这些对象进行抽象地研究. 所以抽象能力是发展学生用数学的眼光观察现实世界能力的重要素养. 有理数及其运算的教学为学生抽象能力的培养提供了许多载体，如负数、数轴、相反数、绝对值等概念都是通过抽象获得的（如数2是抽象所得，现实中并没有2，只有2只笔、2个篮球等实物）. 教学中，教师要基于学生已有的生活经验，采用典型的生活实例，引导学生从数学的视角分析问题情境，研究对象的本质特性，经历抽象的过程，再通过归纳形成概念.

归纳推理是获取新知、探究新知的重要思想方法. 初中阶段许多代数知识都是通过归纳推理所得，对有理数及其运算的教学不能只停留在知识层面，应该基于知识的生成过程进行思维的教学，促进学生核心素养的达成. 因此，在教学过程中，教师要一以贯之地采用归纳的方式，为学生创设“生活实例—观察试验—比较分析—分类归纳—抽象概括”的探究性学习过程. 在有理数运算法则与运算律的探究中，要引导学生充分经历有理数运算法则的生成过程，辅助学生在归纳推理的过程中抽象法则，理解运算律. 这种重视探究过程的教学引领方式不仅能提升学生发现问题、提出问题、分析问题的能力，更能帮助学生形成探究问题的一般思路与方法，促进“三会”核心素养的达成.

新教材是教学的蓝本，它对有理数及其运算教学内容的深度修订，体现了《标准》的理念及要求. 教师要在对比分析中领悟变化的原因，改进教学方式，提升教学效能，从而更高效地发挥数学的育人价值.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］吴增生.“有理数”单元教学研究：在教育神经科学视野下［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2022（4）：56-64.

［3］秦德生，王飞兵，李亚军. 数学跨学科综合实践活动类型与样态设计［J］. 现代中小学教育，2024，40（5）：54-58.

［4］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016.

基金项目：国家教材建设重点研究基地2023年度教育部规划重大项目——中小学教辅、教学资源与教材的关系研究（2023GH-ZDA-JJ-Y-02）.

作者简介：王飞兵（1978— ），男，正高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学教学、教材和考试评价研究.