素养导向下新教材“过渡期”尺规作图教学的实践路向

【课堂聚焦·教材教法】

【摘 要】在新教材使用“过渡期”，教师需要利用现行教材内容落实并践行课标理念。文章以《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中新增的尺规作图教学内容为例，从尺规作图内容的整体分布、尺规作图教学的实践路向两个方面进行系统分析，并给出具体的实践路向：整体把握介入节点，把新增的学习内容融合到位；深刻把握知识本质，把学科核心素养理解到位；统筹设计学习活动，把丰富的学习体验落实到位，以更好地涵育学生的数学学科核心素养。

【关键词】尺规作图教学；整体分布；实践路向；过渡期

2024年９月起，义务教育新教材陆续启用。如何在新教材使用“过渡期”，利用现行教材内容来实施课程目标、课程内容与课程评价，是当下亟待解决的一个重要话题。本文以“图形与几何”领域中尺规作图教学内容为例，谈谈如何整体理解和把握新教材中几何作图内容的调整，设计和实施相应的新教学活动。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“图形与几何”领域变化调整之一是将原本安排在初中阶段学习的尺规作图教学内容调整到小学阶段，将其统称为用直尺和圆规作图。教学要求也由原先的学生掌握基本的作图技能变化为学会利用无刻度直尺和圆规进行作图，具体的作图要求细化且难度有所提升。相应地，对教师的教和学生的学也提出了更高的要求。这样的调整，不仅丰富了小学阶段几何作图内容，提高学生对相关图形特征认识的深度和广度，还有利于发展学生的空间观念、几何直观和推理意识。教学中，教师要厘清小学阶段增加用直尺和圆规作图内容的重要价值和意义，合理把握教学难度，在现行教材中有机渗透，重视与初中相关内容的衔接，关注不同学段尺规作图的具体要求，体现尺规作图教学内容的阶段性与一致性，培育学生的数学学科核心素养。

一、小学阶段有关尺规作图内容调整的整体分布

新课标提出在小学阶段“图形的认识与测量”主题中，认识线段和三角形教学时增加尺规作图的内容，并在附录部分提供“例26 用直尺和圆规作等长线段”“例29 通过作图认识三角形周长”“例32 作图理解三角形”三个典型案例［1］。小学阶段的几何作图一般是指度量作图，可以使用直尺、三角尺、量角器、圆规、方格图等作图工具，作出符合条件的图形。而所谓的尺规作图，是指使用无刻度的直尺和圆规两种作图工具，经过有限次操作，作出满足一定条件的图形。学生使用无刻度的直尺和圆规作图，在操作过程中能够感知线段长度与两点之间距离的关系，体会线段长度的可加性，同时理解图形的形状特征，感悟不同图形之间的联系，在尺规作图中感受数学的严谨性，真正在“做中学”“做中悟”，发展几何直观和推理意识。基于此，笔者整理了新课标中小学阶段尺规作图内容分布及实施要求（见表1）。

二、现行苏教版数学教材中实施尺规作图教学的实践路向

（一）整体把握介入节点，把新增的学习内容融合到位

尺规作图作为小学新增的教学内容，在现行教学过程中该何时呈现，以何种方式呈现，具体指向学生哪些核心素养，立足现行教材怎样将新课标中的理念、目标、内容、方法转化成教学实践，是教师要关注的首要问题。教师在进行尺规作图教学整体结构化设计时，要遵循新课标要求，依据学生学情现状，利用现行苏教版数学教材内容进行系统整合、适当渗透、循序渐进，带领学生逐步走向深入，做到新课标理念与现行教材内容的有机融合。

融入点一 结合现行苏教版数学教材内容编排体系，新课标中新增了“用直尺和圆规作等长线段”教学内容，建议在二年级上册第五单元“厘米和米”第一课时“认识线段”时增加这一内容。学生借助尺规作图，在动手操作中形成对线段这一几何图形的直观初步认识，感受两点确定一条线段的意义。同时，体会尺规的作用，即用直尺可以确定直线，用圆规的两脚可以确定线段的长短，从而感受用尺规作图的神奇和好玩［2］。

融入点二 新课标中新增了“通过作图认识三角形周长”教学内容，建议在三年级上册第三单元“长方形和正方形”的第二课时“认识周长”时增加这一内容。在周长学习时，学生利用圆规、直尺在具身操作中直观感知，用尺规作出的线段长就是三角形周长，感知线段长度的可加性，直观理解图形周长的含义。

融入点三 新课标中新增了“作图理解三角形”教学内容，建议在四年级下册第七单元“三角形、平行四边形和梯形”第二课时“学习三角形三边关系”增加这一内容。教师可以利用不同长度的线段素材情境，改变现行教材中用小棒围成三角形情境素材的局限。学生在用尺规工具作三角形的实验操作过程中，深入感悟“三角形任意两边之和大于第三边”的丰富内涵，经历根据“两点间线段最短”的基本事实说明三角形的三边关系的过程，形成推理意识。［3］

（二）深刻把握知识本质，把学科核心素养理解到位

人们学习几何的途径一般有四个步骤，分别是直观感知、操作确认、演绎推理、度量计算。对于小学生而言，尤其注重直观感知、操作确认两个环节。尺规作图的步骤通常包括已知、求作、分析、作法、证明、讨论。尺规作图要求学生不仅要关注操作过程的合理性及对作图结果的解释，还要具备一定的演绎推理意识。小学阶段，学生进行尺规作图时，一般会经历以下过程：一是作图前，想象作图后的形状是怎样的，思考作图的关键点在哪里，培养空间想象能力；二是作图时，思考作图基本步骤是什么，作图的方法是怎样的，保留作图的痕迹，需要观察动态确定点、线的过程，并与想象的图形进行比较，思考这样的作图过程是否正确、合理；三是作图后，能清楚、完整地表达自己的作图过程，对作图结果进行解释说明，对其中的问题进行调整、修正，形成解决一类作图问题的通法，培养迁移和综合解决问题的能力。

几何作图是直观认识图形及其性质、理解数量关系的重要方式，也是培养学生用数学的眼光观察现实世界的重要手段。特别是新课标中新增的尺规作图内容，它将相关图形的认识、特征探究与几何作图统整在一起学习，强调作图过程的合理性、严谨性，更强调对作图步骤进行回顾，对作图过程进行说理，从表象直观逐步走向本质直观，以此促进学生加深对图形的认识及其数学本质的理解，进一步发展学生的动手能力、几何直观和推理意识［4］。比如，学习周长内容时，教师布置任务，要求学生用直尺和圆规把三角形的边依次展开在一条直线上，然后进行尺规作图，具体实施如下。

作图要求：如图1所示，用直尺和圆规把三角形的边依次展开在一条直线上。

作图工具：圆规、直尺。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-16.tifgt;

图1

作图过程：

（1）如图2所示，用圆规量出线段AB，在直线上画出点A，以点A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于点B，标出点B。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-17.epsgt;

图2

（2）如图3所示，用圆规量出线段BC，以点B为圆心，以BC为半径画弧，交直线于点C，标出点C。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-18.epsgt;

图3

（3）如图4所示，用圆规量出线段CA，以点C为圆心，以CA为半径画弧，交直线于点A′，标出点A′。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-19.epsgt;

图4

学生在大任务驱动下，完整经历用直尺、圆规作图工具取等长线段，在直线上首尾相接、依次排列的过程，利用直观构图对作图结果回望、思考：“直线上哪条线段的长是三角形ABC的周长？除了从点A展开，还可以怎样在直线上展开三角形ABC的周长？”学生结合作图步骤，对作图过程进行解释说理，直观感受到三角形的每一条边对应一条线段。因此，三角形的周长就是三条边的长度之和，也就是线段AB+BC+CA′的长度和，体现长度具有可加性和运动不变性，让学生体会周长的本质是线段AA′的长度，同时感受到尺规作图的严谨性与科学性。

在教学中引入尺规作图这一几何作图方法，学生不仅获得对图形周长度量属性的深入理解，明晰周长的本质即度量单位的累加，而且在这一过程中积累的动手操作活动经验，也为以后类比感知面积、体积的学习建构相同的学习路径，从而体会图形测量的本质是相通的，都是度量单位的累加。学生逐步感受到度量方法的一致性，形成整体解决一类测量问题的思维方式，凸显数学内容的整体性、结构性与连续性，从而深入把握数学测量的本质，提升数学学科核心素养。

（三）统筹设计学习活动，把丰富的学习体验落实到位

新课标对小学阶段图形的认识主要划分为两个阶段，第一阶段是直观认识、整体识别图形；第二阶段是从要素分析的视角，从点、线、角等几何要素再认识图形的特征与性质。几何作图的学习有助于学生直观认识图形，并感知图形的特征和性质。同时，对图形正确的认识及对图形特征、性质的准确把握，又可以促进学生更好地完成几何作图学习任务，发展学生的空间观念、几何直观和推理意识等核心素养。因此，教师应根据新课标中尺规作图不同学段的实施要求、知识间的逻辑关系和学生的认知特点，系统规划、整体设计、分阶段实施，体现几何作图教学的整体性、一致性和进阶性，为初中阶段学习规范的尺规作图打好基础。

1.经历从工具作图到尺规作图，深入感悟概念本质

小学阶段学生前期学习的几何作图都是用带有刻度的工具对图形进行度量，例如，用直尺画出指定长度的线段，学生没有用圆规度量线段长度的经验和方法。因此，小学阶段的几何作图可以从工具度量作图开始，逐步过渡到尺规作图。教学时，教师创设真实的问题情境，引导学生借助合适的作图工具，在几何作图中解决问题，并在不同作图方法的比较中，深化对图形本质的认识与理解，感受尺规作图虽然没有利用度量单位进行精确测量，但它刻画出的结果却是严谨、科学的。比如，用没有刻度的直尺和圆规画出与已知线段等长的线段的操作如下。

作图要求：如图5所示，用没有刻度的直尺和圆规画一条与线段AB同样长的线段。

作图工具：圆规、直尺。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-20.tifgt;

图5

作图过程：

画法1：如图6所示，用直尺画一条直线，用圆规量出线段AB，在直线上画出点C，以点C为圆心，以AB为半径画弧，交直线于点D，标出点D。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-21.epsgt;

图6

画法2：如图7，用圆规量出线段AB，画出点C，以点C为圆心，以AB为半径画弧，弧线上取点D、E、F，分别连接CD、CE、CF。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-22.epsgt;

图7

学生以往的作图经验大多停留在用有刻度的直尺度量具体长度进行画图。而借助尺规作图需要学生用圆规去度量指定线段的长度，再用圆规和无刻度直尺共同完成作图任务。教学中，教师可以围绕两大核心问题“为什么线段CD与线段AB的长度相等？”“按照画法2，可以画出多少条与线段AB长度相等的线段？”引导学生借助两种典型作图资源进行对比辨析，使学生逐步感悟两种作图方法之间的一致性。也就是直尺的主要功能是画直线，圆规的主要功能是画弧与定长，用圆规的两脚对准已知线段的两个端点，圆规两脚之间的距离就是这条线段的长度。同时，在两种作图方法的比较中，学生逐步体会圆规画弧的特殊价值，即弧上任意一点到点C的距离与线段AB长度都相等。从中感悟圆规两脚之间的距离一旦确定，画出的线段长度也就随之确定。学生在具体的作图过程中，逐步感受到用尺规作图画出等长线段的结果是严谨的，从而深入理解线段这一图形的特征和本质，提高作图技能、推理意识和运用几何知识解决实际问题的能力。

2.经历从具体操作到推理想象，深刻体会图形特征

小学阶段学生对“图形与几何”领域内容的学习大多是几何直观。教师借助直观素材和动手操作活动能帮助学生形成一定的表象认识和掌握一定的符号操作能力，如在教学三角形知识时，要求以给定的三条线段为边，画一个三角形。学生利用有刻度直尺操作时往往会出现误差，无法准确确定第二、第三条边的位置等问题。因此，依据学生的年龄特点和认知规律，教师可以从第二学段起引导学生利用尺规作三角形，使学生加深对三角形由三条线段“组成”的感悟，体会三角形的稳定性，不断提升学生尺规作图的能力，让学生的学习在严谨的科学探究中逐步走向深入。具体作图过程如下。

作图要求：以图8中三条线段为边，画一个三角形。

作图工具：圆规、直尺。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-23.tifgt;

图8

作图过程：

（1）如图9所示，先用直尺和圆规画出线段a，把它作为三角形的一条边。

（2）用圆规量出线段b的长度，以点A为圆心，以线段b的长度为半径画弧。

（3）再用圆规量出线段c的长度，以点B为圆心，以线段c的长度为半径画弧。两条弧的交点C就是三角形的第三个顶点。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-24.epsgt;

图9

学生围绕关键问题“为什么画出的两条弧的交点就是三角形的第三个顶点”深入思考，在直观操作和想象推理中发现，用尺规作图时三角形第二、第三条边中不确定的端点的运动是有规律的。它们都是以确定的端点即第一条边的端点A或B为圆心，以线段b或c为半径画弧，每一条弧就是三角形第二、第三条边中不确定端点的运动轨迹，两条弧的交点C就能满足到点A的距离为b，到点B的距离为c，由此确定三角形的第三个顶点C。

同时，选取以线段a、线段b、线段c分别作为三角形第一条边的不同三角形进行重叠比较，发现当三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小不会改变，也就是同样的三条线段围成的三角形是完全一样的。如此，学生加深了对“三角形稳定性”的理解，增强了几何直观，初步形成推理意识，为初中阶段深入理解“三条边对应相等的两个三角形全等”这一基本事实，提供了朴素直观的经验模型（如图10）。

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-25.tifgt;

图10

3.经历从直觉判断到尺规验证，深度发展理性思维

小学阶段学生对几何学的认识常常伴随着经验直觉。这种基于个人经验、感受和直觉所做出的决策或评估判断，往往带有主观性、模糊性，甚至会出现偏差或错误。尺规作图教学时，教师可以从学生经验直觉提出的假设出发，通过尺规作图实验操作进行验证，证明假设的真伪或修正假设，从而获得科学的结论。在这一过程中，学生经历从具象经验到抽象思维逐级深入的过程，在合情推理和演绎推理的双重思辨中，发展审辨思维和理性精神。如教学“三角形三边关系”时，教师可以设计如下尺规作图实验任务，驱动学生对三角形三边关系进行深入思考与探究。

实验任务：

（1）选一选：如图11，从四条线段中任选三条线段，都能组成三角形吗？

（2）画一画：用直尺和圆规作图，看是否能组成三角形。

（3）想一想：怎样的三条线段能组成三角形？

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-26.tifgt;

图11

学生通过具象观察后会产生一些未经验证的大胆猜测，如三条线段有时能组成三角形，有时不能组成三角形；当两条短的线段加起来比最长的线段短时，不能组成三角形。但是，学生对于核心问题“怎样的三条线段能组成三角形”还不是很清晰，尤其是对于“3厘米、5厘米、8厘米”这样的三条线段能否组成三角形存在疑问。基于这一认知现状，教师可以引导学生借助尺规作图进行实验操作验证，选取四组典型的作图资源来辨析明理，得出两种类型，即一类能组成三角形，一类不能组成三角形（如图12）。

[选的线段是：3厘米、4厘米、5厘米

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-27-1.tifgt;

实验结论：能否组成三角形（能lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼勾.tifgt; 不能□） ][选的线段是：4厘米、5厘米、8厘米

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-27-2.tifgt;

实验结论：能否组成三角形（能lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼勾.tifgt; 不能□） ][选的线段是：3厘米、4厘米、8厘米

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-27-3.tifgt;

实验结论：能否组成三角形（能□ 不能lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼勾.tifgt;） ][选的线段是：3厘米、5厘米、8厘米

lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼xm25-1-27-4.tifgt;

实验结论：能否组成三角形（能□ 不能lt;E：＼骆晓梅＼中小学课堂＼2025-1＼图片＼勾.tifgt;） ]

图12

学生在丰富、有针对性的实验操作验证中反思感悟、推理发现能组成三角形的三条边的特点。在数与形的直观支撑中，教师嫁接有形操作与无形想象之间的桥梁，帮助学生深入体会当两条短边之和等于最长边时，即三角形的第三个顶点落在最长线段上时，三条线段不能组成三角形。在借助尺规实验验证过程中，学生更深刻地感受到尺规工具操作的精确性与便捷性。在回顾反思中，教师联系“两点之间的所有连线中线段最短”这一数学基本事实，让学生进行解释说理，推理验证“三角形任意两边之和大于第三边”结论的合理性。以此帮助学生连接实验操作之“法”与数学逻辑之“理”之间的关联，实现从特殊到一般，从归纳推理到演绎推理的思维进阶，培养学生的理性思维和推理意识，使学生形成一定的数学洞察力、思考力和迁移能力。

三、结语

在现行教材中实施尺规作图教学，应立足并吃透新课标中调整几何作图内容的意图，明晰尺规作图分阶段具体实施的要求，厘清不同学段尺规作图与图形认识、特征、关系以及相对应的学科核心素养表现之间的关系，理解并巧妙融入现行教材的几何作图内容进行教学。同时关照与初中尺规作图的逻辑关系，进行有效的小初衔接，让学生在尺规作图教学中形成一定的作图能力，培养学生严谨的数学思维能力，提升数学审美品格，发展空间观念、几何直观和推理意识，涵育学生数学学科核心素养的生长。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］位惠女. 为什么要在小学增加“尺规作图”内容：马云鹏教授、吴正宪老师访谈录（八）［J］. 小学教学（下半月·数学），2022（12）：4-7.

［3］史宁中，曹一鸣. 义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022：177.

［4］孙晓天，张丹. 义务教育课程标准（2022年版）课例式解读 小学数学［M］. 北京：教育科学出版社，2023：75.

（责任编辑：罗小荧）

【作者简介】芮金芳，高级教师，常州市特级后备人才，主要研究方向为小学数学课程与教学研究。

【基金项目】江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“指向儿童智慧解放的小学跨学科实践中心建设研究”（B/2023/03/111）