用推理和想象让线段“动”起来

【摘 要】随着核心素养的深入发展，小学数学教师越来越重视学生综合素养的提升。《义务教育数学课程标准（2002年版）》将尺规作图的内容新增到了第二学段，“用尺规作等长线段”是这部分内容的第一课时，也是学生第一次接触尺规作图。尺规作图并不是教技能，而是让学生懂原理。为什么要学尺规作图，意在让学生进一步感受数学的严谨性。

【关键词】尺规作图 等长线段 推理和想象

一、教学理念

用直尺和圆规画等长线段是新课标“图形与几何”第二学段“图形的认识与测量”中的内容。本课是在认识线段的基础上，引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度与两点间距离的关系，是新课标附录第26例的内容。通过本课的教学，发展学生的想象和推理意识，增强几何直观能力。后续还将学习用直尺和圆规作三角形等一些内容。

按新课标要求，在学习本课之前学生已经会用圆规画圆和画弧，通过本课的学习学生还将感受到圆规除了可以画圆和画弧外，还可以确定线段的长度，从而丰富对尺规的认识。

新课标引入尺规作图的意图在于：让学生感知数学研究的严谨性。因此，本节课教师从学生“量”的经验入手，让学生逐步体会用尺规作图解决问题的科学性和严谨性。

本节课教师围绕如下三个环节进行：

环节一：在真实情境的问题中，尝试用多种方法比较线段的长短；

环节二：组织多元化意义协商，在比较中感悟圆规的作用；

环节三：借助线段比较的经验，探索如何用尺规作等长线段。

通过这三个环节的设计，让学生体会：任意一条线段都能通过工具让它“动”起来。

二、教学流程

结合上述的思考和思路，本节课的教学流程设计如下。

（一）创设情境，提出问题

创设大课间活动情境，由“哪个器材小屋离教师最近”的实际问题，聚焦到哪一条线段最短的数学问题，激发学生学习兴趣，感悟数学与生活的联系。

导入活动通过播放大课间选取器材，聚焦到教师去哪个器材小屋的画面，从现实生活中发现数学问题。紧接着在“教师离哪个器材小屋最近”的问题驱动下，让学生体验到用尺规可以帮助解决此类现实世界的问题。通过数学的眼光，学生形成对尺规作图的好奇心与想象力，主动参与课堂的探究活动，养成从数学的角度观察现实世界的意识与习惯，发展创新意识。

（二）选择工具，尝试比较

为学生提供小棒、无刻度直尺、毛线、圆规等多样化的学习工具，从使用无刻度直尺 “量”出线段的长度，到尝试利用圆规确定线段的长度。通过多种工具的尝试和资源的对比，让学生感受线段是可以动起来的，只要建立了一个标准，这个标准是可以移动的，想跟谁比就跟谁比，引发学生思考圆规在作图中的作用。通过交流，学生逐渐认识到圆规在比较线段长短中的作用，弧和圆心之间存在着无数条等长的线段。在多次资源对比中，体会方法的多样性；在聚焦分析中，进一步优化方法，让学生的思维进一步得到完善。

（三）明确作法，分享交流

设计两个教学活动，分别是：在射线上画等长线段和画已知线段的等长线段。

活动一：让学生构思如何用圆规作等长线段，提炼出“定点—圆规定距离—画弧定交点”的作图步骤，并将作图过程完整清晰地进行表达，感受圆规两脚间的距离不变可以在射线上画出等长线段，培养学生的空间想象能力。

活动二：在活动一的基础上，通过不同资源的对比沟通，方法优化，感悟圆心到圆弧上任意一点的线段长度都相等。

尺规作图作为小学部分新增内容，其要求是用尺规作等长线段，并不是直接把作图方法教授给学生，让学生模仿，而是在一次次动手尝试中让学生不断思考、调整、交流、反思，最终选择最优作图方法，明确如何用尺规更精准、方便地完成作图。

通过两次画等长线段的过程，学生通过观察、操作，想象能力和推理意识得到加强，进一步感悟了尺规的价值。

（四）拓展运用，欣赏尺规

在课的最后，通过视频的方式欣赏尺规的发展演变史，感受尺规在生活中的应用。

三、教学感悟

通过本课的教学，有以下三个思考。

（一）以数学表达促进学生思维

1.会用数学的思维思考现实世界

本节课借助比、画这两个活动设计了有向开放的问题，在活动过程中让学生进行个性化的自主探索，资源呈现结构化，互动交流序列化，让学生的思维再生长。

例如：在两个活动学生方法的交流分析中，要重视方法之间的联系，以及从他人方法中获得的启发。学生在交流中认识到圆规在比较线段长短中的优势，弧和圆心之间存在着无数条等长的线段。在多次资源对比中，体会方法的多样性；在聚焦分析中，进一步优化方法。

在整个过程中，学生借助观察、操作、想象，使直观想象能力和推理意识都得到了发展，初步养成有条理、严谨的数学思维品质，逐步形成理性精神。

2.会用数学的语言表达现实世界

学生通过用圆规作等长线段，学会用规范严谨的数学语言描述作图过程，以表达促进思维的发展。本课中在比较线段长度的基础上，教师设计了尺规作等长线段的活动。在这个活动中，学生不仅要动手操作，更要构思画法，并在对比交流中清晰地表达作图过程。因此，教师设计了学习任务单鼓励学生思考操作（图1），并用关键词概括作图的方法。在交流方法的过程中，鼓励学生边倾听边尝试，边讨论边完善，会思考会做事。

学习任务单

活动要求：

1.想一想：你想怎样比较所画线段和标准线段的长短？

2.选一选，做一做：选择合适的工具，动手比一比。

3.说一说：跟你的同桌说一说你是怎么比较的。

正如新课标所说，这样的设计意在通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，让学生学生初步感悟数学与现实世界的交流方式。如在概括作图方法的过程中，学生经历交流、反思，尝试概括成“以点C为端点，以线段AB的长度画弧，交射线为点D，线段CD即为AB的等长线段”这样具有数学特色的小结。引导学生欣赏数学语言的简洁与优美，在数学课堂上逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。

（二）用多样工具引发推理想象

在多样化的工具选择、对比、分析中让学生感受圆规的价值，发展学生的推理和想象能力。我们生活在真实的世界里，数学对象也是从现实世界而来。但是数学不是以“真实”本身为对象，而是通过“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，找到它的本质属性，进而得到数学的研究对象。

活动中教师准备了小棒、毛线、圆规和直尺等学具，让学生在活动探究中先选择工具。这样设计，主要有这样的思考：选取具有现实意义的工具，像小棒、毛线、书本等这样随手可取的工具，其实也具备“量”“比”线段的功能，而且这些工具是生活中随处可见的，这样更贴近现实世界。

教师鼓励学生选择“类似”的工具进行作图，比如可以借助毛线或绳（无弹性）用手将它们的一端固定，另一端固定在铅笔上，利用铅笔的移动画出圆弧，与已知线段比长短，让学生体验生活中很多类似工具“量”“比”线段的方法，看似随意，其实都是蕴含着圆规画弧的道理。但是在操作过程中，学生也体验到这样的工具虽取材方便，作用相通，但是作图不够精确，而圆规与尺作为专业的数学测量工具更符合数学学科的严谨性。

（三）从操作技能走向数学素养

通过本课学习，学生不仅学会如何用圆规画等长线段，更是感受到“两点确定一条线段”的本质，根据圆规两脚之间的距离就可以让线段“动”起来。利用尺规画出与线段AB的等长线段，教师设计了这样的活动单（图2），4人一组，小组探索。

活动单

活动要求：

1.想一想：你打算如何画出与线段AB等长的线段，小组交流。

2.画一画：借助尺规动手画一画，每步使用了什么工具。

3.说一说：小组交流你们的作图过程，分为几步，每步的关键是什么。

尺规作图的价值不仅仅是让学生知道作图方法，更重要的是在活动的推进中，让学生自己通过尝试、操作，经历找点的过程，发现问题，并及时思考、调整、再操作，最终体会到用尺规作等长线段的关键是确定线段的两个端点。所以，尺规作图有利于培养学生“几何直观”等核心素养，感受到数学图形的直观存在，清晰地感知图形组成元素之间的空间关系。还能通过画出的图形来表示数学问题的抽象模型，实现数形结合，形成分析问题的一种思维方式。尺规作图既能增强学生的动手操作能力，也发展了学生的几何直观和推理意识。在整个过程中，学生借助观察、操作、想象，使直观想象能力和推理意识都得到了发展，初步养成有条理、严谨的数学思维品质，逐步形成理性精神。

最后，在本课教学中教师也有一些困惑：根据四年级学生已有认知水平，学生对从一点到弧上任意一点的线段长度都相等的认识和理解不够深刻。虽然借助信息技术在动态操作上让学生多次感知点到圆弧上任意一点的距离都相等，但还是没达到最佳效果。

四、结语

尺规作图有力地促进了学生的直观想象和推理意识的发展。在尺规作图中，学生需要构思如何作图，还要把怎么作图的过程表达出来，这些都是几何直观和推理意识共同作用的结果。在这个过程中，学生能够逐渐用数学的思维进行思考，用数学的语言进行表达，同时再次体验尺规的作用，加深了数学理解。教师要发挥尺规作图的教育价值，重视“作图”，引导学生“做中学、思中学、创中学”，让“作图”成为学生想象、创造、推理的沃土，借助尺规来推理和想象，真正让线段“动”起来。

【参考文献】

[1]刘加霞，潘丽云.尺规作图的历史溯源、育人价值及教学建议[J].小学教学（数学版），2022（7）.

[2]唐彩斌，王罗那.小学数学增加“用直尺和圆规作图”的意义和策略[J].小学数学教育，2022（11）.

[3]芮金芳.关注尺规作图，指向素养发展：小学数学教学中尺规作图的价值与策略思考[J].福建教育，2022（36）.