探析2023年全国高中数学联赛A卷第9题

摘" 要：动点的轨迹问题是历年高考和全国数学联赛的重点和热点题型，特别是新课程改革以来，注重考查学生的创新意识、运算能力、分析问题及解决问题的能力等.求轨迹方程实质上是数形结合的最直接体现，同时在建构函数方程、转化与化归思想等方面均有体现.

关键词：联赛；动点；轨迹方程

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0050-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：贺凤梅（1979—），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

近年来，全国高中数学联赛与高考试题、名校的强基计划试题都紧密联系，研究联赛试题对于高三复习，甚至对于高一高二的尖子生的培养都大有裨益.2023年联赛试卷中的解析几何试题就是一道很好的高考复习素材，下面分享一下研究内容，以飨读者.

1" 试题呈现

试题" （2023年全国高中数学联赛A卷一试第9题）平面直角坐标系xOy中，抛物线τ：y2=4x，F为τ的焦点，A，B为τ上两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于线段OF上（含端点）.记Q为线段AB的另一个三等分点，求点Q的轨迹方程.

2" 总体分析

此题是2023年全国高中数学联赛A卷一试第9题，试题难度适中，涉及求动点的轨迹方程.此类试题可以利用直接法设点，结合几何等量关系进行转化，也可以利用相关点法进行求解，还可以利用参数法建立x与y的联系，然后消去参数，得出动点的轨迹方程.同时一定要关注题中的隐含限制条件，即求解过程中常说的定义域问题.

3" 试题解答

视角1" 常规设点，借助定比分点公式解答.

解法1" 设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意可知AP=12PB，且λ=12.

由定比分点公式可得

xP=x1+x2/21+（1/2）=2x1+x23.

同理yP=2y1+y23.

所以点P（2x1+x23，2y1+y23）.

而AQ=2QB，

易得点Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因为点P在线段OF上，则有

0≤2x1+x23≤1，①

2y1+y23=0.②

由②解得y2=-2y1.

不妨设y1=t，则y2=-2t.

因为点A，B在抛物线y2=4x上，

所以x1=y214=t24，

x2=y224=t2.

代入①整理，得0≤12t2≤1.

由题设可知A，B两点不重合.

所以t≠0.

故0lt;t2≤2.

结合以上转化可求得xQ=34t2，yQ=-t，且0lt;34t2≤32.

从而点Q的轨迹方程为y2=43x（0lt;x≤32）.

评注" 此法属于常规解法，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用定比分点公式得出点P，Q的坐标，结合点P的位置得出y2=-2y1以及横坐标的范围.接着用中间量替换以及点A，B在抛物线上进行必要转化与求解，找出点Q的横、纵坐标的关联，最终求出点Q的轨迹方程.当然，要想获得满分其实不容易，考生往往易忽视轨迹的范围（包括端点）［1］.

解法2" 结合解法1知，P（2x1+x23，2y1+y23），Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因为点P在线段OF上，

所以y2=-2y1.

即y22=4y21.

又点A，B在抛物线上，

即y21=4x1，y22=4x2.

所以x2=4x1.

因为xP=2x1∈（0，1］，

所以x1∈（0，12］.

结合以上转化与求解易得xQ=3x1，yQ=-y1.

因为y21=4x1，

所以点Q的轨迹方程为y2=43x（0lt;x≤32）.

评注" 解法2是在解法1的基础上进行简化，没有介入中间量，而是结合点A，B在抛物线上直接寻找点的横、纵坐标的关系，这样处理相对简洁，当然对运算能力与转化能力的要求更高.另外变量的范围不容忽视，属于易丢分点［2］.

视角2" 利用参数方程，借助定比分点公式解答.

解法3" 设抛物线τ：y2=4x的参数方程为x=t2，y=2t（t为参数），

设A（a2，2a），B（b2，2b），

由定比分点公式，得

P（2a2+b23，4a+2b3），Q（a2+2b23，2a+4b3）.

因为点P在线段OF上，则有

0≤2a2+b23≤1，③

4a+2b3=0.④

由④解得b=-2a.

代入③整理得0lt;a2≤12（A，B两点不重合，a≠0）.

结合以上转化与求解易得

xQ=3a2，yQ=-2a.

所以点Q的轨迹方程为 y2=43x（0lt;x≤32）.

评注" 此法利用抛物线的参数方程设点转化与求解，参数相应减少，点Q的横、纵坐标的关系更明显，当然前提条件是考生必须熟练掌握参数方程，这也对化归与转化能力和计算能力提出了更高的要求［3］.

视角3" 设点P及Q的坐标，结合点A，B在抛物线上转化求解.

解法4" 设Q（x，y），P（t，0）（0lt;t≤1），

由题可知，点P为AQ中点，点Q为PB中点.

易知A（2t-x，-y），B（2x-t，2y）.

因为点A，B在抛物线上，

所以

y2=4（2t-x），（2y）2=4（2x-t）.

消y整理，得x=32t.

所以0lt;x≤32.

从而t=23x.

故可求得点Q的轨迹方程为y2=43x（0lt;x≤32）.

评注" 此解法直击目标，求点Q的轨迹方程，直接设点Q（x，y），结合题设条件设点P（t，0）（0lt;t≤1），利用相关点法得出点A，B的坐标，而点A，B在抛物线上，进一步转化即可求解.

视角4" 结合题设，通过减元处理求解.

解法5" 设A（t24，t），由题可知AP=12PB，且点P在线段OF上，由线段的定比分点公式，得

yP=2yA+yB3=0.

所以yB=-2yA=-2t.

又y2B=4xB，

所以xB=t2.

即点A（t2，-2t）.

结合定比分点公式可求得

xP=2xA+xB3=12t2.

由前面的解法易知0lt;t2≤2.

进一步得xQ=34t2，yQ=-t.

所以点Q的轨迹方程为y2=43x（0lt;x≤32）.

评注" 此解法就是在厘清问题的本质之后作减元处理.正所谓熟能生巧，万变不离其宗，只要抓住问题的实质，问题自然迎刃而解.

4" 追根溯源

定比分点公式在现行教材中未明确提出，但它却是解析几何中的一个重要知识.人教A版新教材必修第二册第32至33页的例9就是在探究这个知识点，值得大家关注.

设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）.

（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

探究：线段P1P2端点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），P是线段P1P2上的一点，

当P1P=λPP2时，点P的坐标为（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ）.

评注" 人教A版新教材必修第二册以例题及探究的形式将定比分点公式纳入所学知识的范畴，足见定比分点公式是我们必须掌握和能够灵活应用到解题中去的. 当然以上的解法中大家均可以用向量的坐标进行转化，异曲同工，有兴趣的同仁不妨一试.

5" 联赛试题链接

（2005年全国高中数学联赛）如图1，过抛物线y=x2上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC=λ1，点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

图1" 2005年联赛解析几何题图

解析" 易得切线AB的方程为y=2x-1.

所以点B（0，-1），D（12，0）.

所以D是线段AB的中点.

设点P（x，y），C（x0，x20），E（x1，y1），F（x2，y2），

因为AEEC=λ1，

由定比分点公式，得

x1=1+λ1x01+λ1，y1=1+λ1x201+λ1.

同理，由BFFC=λ2，得

x2=λ2x01+λ2，y2=-1+λ2x201+λ2.

利用两点式写出直线EF的方程，并整理得

［（λ2-λ1）x0-（1+λ2）］y=［（λ2-λ1）x20］x+1+x0-λ2x20.⑤

当x0≠12时，直线CD：y=2x20x-x202x0-1.⑥

联立⑤⑥，得x=1+x03，y=x203.

消去x0，得y=13（3x-1）2.

当x0=12时，交点坐标为（12，112），满足以上轨迹方程.

而点C与点A不重合，所以x0≠1，从而x≠23.

综上，点P的轨迹方程为y=13（3x-1）2 （x≠23）.

评注" 本题是2005年全国高中数学联赛试题，利用导数的几何意义求出切线AB方程，得出点B，D坐标，设所需点的坐标，结合定比分点公式作相关转化，同时还需用到交轨法，可以求出相应的轨迹方程，同样需要考虑其中的限制条件，以上解答供大家参考.

6" 结束语

平面向量是新教材的一个亮点，而向量的定比分点公式结构美观，用来解决国内外的一些竞赛与联赛试题快速、高效，别有一番风味.比如第29届IMO预选题，求线段比值，用定比分点公式进行转化，问题迎刃而解；第23届IMO试题，已知三点共线，求参数的值，利用定比分点公式巧妙化解难题；1995年国家集训队试题，判断三点位置关系时，结合定比分点公式，很容易证明三点共线.虽然现行的新教材将向量定比分点公式设置在例题中，但它是非常有用的！因此，在今后的学习中我们要多留心教材的例题和习题，深刻领悟编者意图，扩大知识面，提高解题能力，形成数学核心素养.

参考文献：

［1］

蔡玉书.向量的定比分点公式的应用［J］.数学通讯，2012（Z3）：110-113.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 朱胜强.线段定比分点向量公式的几何意义及其应用［J］.数学通报，2016，55（06）：31-33，39.

［责任编辑：李" 璟］