动量观点在电磁感应现象中的应用

摘 要：高中物理中，电磁感应是一个重要的概念，而动量定理和动量守恒定律也是重要的规律，且经常会与电磁感应相关联，要求学生进行综合应用.因此，学生需要理解电磁感应现象，同时也要掌握动量定理和动量守恒定律的灵活应用.

关键词：高中物理；动量；电磁感应

中图分类号：G632" "文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0124-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：申晓静（1985.11—），女，河北省邢台人，中小学一级教师，从事高中物理教学研究.

2017年新教学大纲对物理教学和备考提出了新的要求.选修3—5模块从“选考”变为“必考”，高考题型也面临大调整^[1].其中，电磁感应和动量的综合题型成为重点，考查范围限定在一维平面内.文章结合相关实例，分析动量观点在电磁感应现象中的应用.

1 线圈进出磁场模型

例1 如图1所示，边长为b的正方形闭合线圈，水平向右穿过磁场边界而后进入磁场.已知该磁场为匀强磁场，分布的区域宽度为L（Lgt;b），磁场的方向为垂直纸面向里，线圈的初始速度为v0，当完全穿过磁场后，线圈的速度变为v（vlt;v0）.下列说法正确的是（" ）.

A.当线圈完全进入磁场时，其速度应比v0+v2小

B.当线圈完全进入磁场时，其速度的大小为v0+v2

C.当线圈完全进入磁场时，其速度应比v0+v2大

D.B和C情况均有可能，但不可能出现A情况

解析 设线圈完全进入磁场时速度为v′，正方形线框的阻值为R.正方形线圈在进入匀强磁场的过程中，通过线框的电荷量为q，有q=I-·Δt，又因为 I-=ER，E-=ΔΦΔt，

联立得q=Bb2R .因为磁感应强度B和阻值R以及正方形框线的边长均不发生变化，所以，该框线进出过程中，通过框线的电荷量是相等的，均为q.安培力的冲量为F·Δt=BIbΔt=Bbq，在线框进出磁场的过程中，依据动量定理有Bbq=mv0-mv′和Bbq=mv′-mv，联立可得，v′=v0+v2，所以B选项正确.

点评 线圈在进入磁场和从磁场出来的过程中，做的是变减速运动.应用动量定理，通过安培力的冲量公式将电荷量和动量定理结合起来，完成求解过程.

2 双杆切割在同一磁场中运动问题

例2 如图2所示，有两根光滑的金属轨道，由弧形轨道和平直轨道相接组成，轨道的长度为足够长，并且可以忽略电阻，两根轨道相隔的间距d=1 m.在弧形轨道的顶端，放置一个金属杆a，该杆离地面的高度h=1.25 m.在右端的平直轨道上，放置金属杆b.已知金属杆a的阻值大小为Ra＝2 Ω，质量ma＝2" kg；金属杆b的阻值大小Rb为5 Ω，其质量mb为1" kg.在平直轨道的区域内，均匀分布着一磁场，磁场方向竖直向上，磁感应强度大小B为2 T.某时刻，将金属杆a由静止释放，同时让金属杆b以v0＝5 m/s的初速度大小开始向左移动.金属杆a滑至轨道弧形部分和平直部分相接处时，金属杆b上通过的平均电流大小为0.3 A；从金属杆a下滑至水平轨道时记为初始时刻，图3为两根金属杆的速度-时间图像（以金属杆a运动的方向为正方向，g=10 m/s2），回答以下问题：

（1）当金属杆a由初始位置下滑至水平轨道和弧形轨道相接处时，经历了多长时间？

（2）当金属杆a在水平轨道上运动时，在整个过程中其截面通过的电荷量是多少？

（3）金属杆b在整个运动的过程中，所产生的焦耳热为多少？

分析 （1）根据题意，杆a在弧形轨道上运动的时间与杆b从开始运动到开始计时的运动时间相同，所以可以将研究对象转至杆b.b受到的是变力，且涉及时间，可以运用动量定理，完成求解过程.（2）金属杆a做变速运动，考虑利用动量定理求解.

（3）运用能量守恒进行求解.

解析 （1）设金属a由初始位置滑至轨道相接处时，金属杆b的速度大小为vb.选取金属杆b为研究对象，依据动量定理，有

BI-d·Δt=mb（v0-vb）.解得Δt=5 s.所以金属杆a由弧形轨道下滑至相接处需要5 s.

（2）设金属a在轨道相接处时的速度为va，根据机械能守恒定律得magh=12mav2a，解得va=2gh=5 m/s.

设最终共同的速度为v′，根据动量守恒定律得mava-mbvb=（ma+mb）v′，解得v′=

83 m/s.根据动量定理得BdI·Δt=ma（va-v′），又q=I·Δt.代入数据，可得q=73 C.

（3）根据能量守恒定律，金属杆a和b共产生的焦耳热为

Q=magh+12mbv20-12（ma+mb）v′2=1616 J

b棒中产生的焦耳热为Q′=52+5Q=1156 J.

点评 对于两个金属杆切割磁场的模型，如果轨道的间距不发生变化，则两个金属杆所受到的安培力大小是相等的，遵从动量守恒定律.若轨道光滑，两个金属杆机械能的减少量等于系统中产生的焦耳热.

例3 如图4所示，有两根相距为L的光滑金属轨道水平放置在地面上，轨道足够长且电阻可忽略不计.轨道放置的区域内存在着一竖直向下，磁感应强度大小为B的均匀磁场中，磁场区域大于轨道的间距.现在两轨道间放置两根铜棒，记为铜棒a和铜棒b，两根铜棒的长度恰好为L，电阻均为R，质量均为m.初始时刻，铜棒静止在轨道上且和轨道接触良好. 某时刻，给铜棒a施加了一个水平向右的瞬时冲量I，则关于该时刻之后，下列说法正确的是（"" ）.

A.铜棒和导轨所形成的回路中，最大电流为BLIRm

B.铜棒b做变速运动，存在一个最大的加速度

B2L2I2m2R

C.铜棒b做变速运动，存在一个最大的速度Im

D.铜棒和导轨所形成的回路中，产生的总焦耳热为I22m

解析 铜棒a开始运动的瞬间，回路中的电流为最大值，回路电流I0=E2R，其中E=BLv0，v0=Im，所以回路电流I0=BLI2Rm，选项A错误；铜棒a刚开始运动时，

铜棒b受到的安培力最大，对应最大的加速度a=Fm=BI0Lm=B2L2I2Rm2，B选项正确；当两个铜棒的速度相等时，铜棒b速度达到最大值，根据动量守恒有mv0＝2mv，又v0＝Im，所以其最大速度为v＝I2m，选项C错误；铜棒和导轨所形成的回路中，产生的焦耳热Q＝12mv20-12·2mv2＝I24m，故选项D错误.

3 双杆切割在不同磁场中运动问题

例4 如图5所示，有两根质量均为2 kg、长度不一的金属棒AB和CD，将两根棒分别垂直放置在光滑轨道的不同位置上.该轨道由左、右两部分组成，左边轨道的间距是右边轨道的二分之一，且该区域中的匀强磁场的方向和右边区域的匀强磁场方向相反，但磁感应强度大小相等.已知轨道无限长且金

属棒一直处在不同的匀强磁场中运动.金属棒的电阻和棒长成正比，轨道的电阻可忽略不计.在CD棒上施加一水平向右、大小为250 N的拉力F.已知当CD棒移动的距离为0.5 m时，CD棒上产生的焦耳热为30 J.此时金属棒AB的速度为vA，金属棒CD的速度为vC，vA=12vC.然后撤去拉力F，回答以下问题：

（1）当CD棒运动了0.5 m时，金属棒AB产生的焦耳热为多少？

（2）当CD棒运动了0.5 m时，两棒的速度vA和vC的大小为多少？

（3）拉力F撤去后，两根金属棒处于匀速运动时，此时对应的最终速度vA′和vC′的大小为多少？

解析 （1）设AB棒的长度为L，电阻为R，则CD棒的长度为2L，电阻为2R.两棒组成闭合电路，任何时刻通过两棒的电流相等，根据焦耳定律Q=I2Rt，解得QAB=12QCD=15 J.

（2）根据能量守恒定律有Fs=12mv2A+12mv2C+QAB+QCD，又因为vA=12vC，求解得AB棒的速度vA=4 m/s，CD棒的速度vC=8 m/s.

（3）拉力F撤去后，两棒匀速运动时切割磁感线所产生的感应电动势大小相等，即BLv′A=2BLv′C，两棒的速度应满足v′A=2v′C.设AB棒和CD棒受到的安培力大小分别为FA和FC，对两棒分别应用动量定理有：FAt=mv′A-mvA，-FCt=mv′C-mvC由于FC=2FA，联立可得v′A=6.4 m/s，v′C=3.2 m/s.

评析 当两棒的长度不同时，产生的安培力是不相等的，不满足动量守恒的条件，但可以运用动量定理进行求解.关键点是掌握最终的运动状态是两棒产生的电动势大小相等、方向相反.

4 结束语

电磁感应类型问题中，线圈或者金属框会在安培力作用下做变速直线运动.动量观点是求解电磁感应问题的有效工具.在复习过程中，教师不仅要注重学生对概念和规律的理解，还要引导学生学会从已知条件出发，“预测”应用各种观点后所需获得的信息，以便有效地解决问题.

参考文献：

［1］ 陈君.动量观点在电磁感应现象中的应用[J].中学物理教学参考，2021，50（03）：56-57.

［责任编辑：李 璟］