依托数学文化 渗透面积公式

摘 要：结合三角术的发展历程所对应的“阅读与思考”板块，深入研究相应的数学文化，通过三角形面积的海伦公式，渗透与三角形面积相关的公式与应用，实现数学文化的融合，引领与指导数学教学与复习备考.

关键词：三角形；面积；海伦；秦九韶

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0091-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：牛相如（1987.10—），男，安徽省蒙城人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

数学文化与数学知识的交汇与融合，成为新高考数学试卷命题中的一个重要方向.此类涉及数学文化的基本考点，以“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等板块设置，通过教材知识以及课后阅读材料等形式来展示.合理挖掘高中数学教材中数学文化与数学知识的交汇点，剖析其内涵与实质，引导学生深入阅读、理解、体会、创新，才能正确融入数学文化，提升自己的数学文化内涵与数学综合应用，给数学学习创造更多的场景与应用^［1］.

1 依托阅读板块

【阅读与思考】2019年人教版数学必修第2册

第六章《平面向量及其应用》第55页“阅读与思考”板块——海伦和秦九韶.

基于高中数学教材“阅读与思考”栏目的阅读材料，介绍三角术的发展，特别是三角形面积的海伦公式以及秦九韶方法等，拓展三角形面积的应用，也给平面几何、三角形面积等基础知识和关键能力的进一步提升与应用创造更加广阔的空间，创新应用场景，备受各方关注.

2 数学文化史话

基于教材中“海伦与秦九韶”的介绍，深入理解三角形面积的海伦公式以及秦九韶方法等，这里着重介绍与大数学家秦九韶有关的一些重要史话.

秦九韶（约1208—约1261），南宋官员、数学家，世称“宋元数学四大家”（与李冶、杨辉、朱世杰三人）之一.字道古，汉族，自称鲁郡（治今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）.其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中

、秘书少监，曾任秘书少监兼国史馆编修，携秦九韶从宦，得以阅读国家馆藏书籍.后从隐士学习数学，史称秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以及营造等事，无不精究”.秦九韶学著等身，对数学进行潜心钻研并深有体会，最著名的著作是《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.

秦九韶创造的一些算法，例如多项式求值的算法，现称秦九韶算法，至今仍是世界上最好的算法之一.秦九韶还创用了“三斜求积术：三斜求积公式S2=14[a2b2-（a2+b2-c22）2]”等，其实质就是利用已知三角形的三边长来求解与之相应的三角形的面积公式，这与海伦公式“S=p（p-a）（p-b）（p-c）或S2=p（p-a）（p-b）（p-c）（其中2p=a+b+c）”是相吻合的，完全一致.在实际解题与应用过程中，由于海伦公式相对比较简单，经常直接利用海伦公式来分析与处理一些相关的问题.

同时，以其名字命名的秦九韶算法，是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.

3 面积公式应用

3.1 元素最值问题

基于三角形面积的设置，可以借助海伦公式来处理一些三角形中相关元素，如边长等的最值或相关应用问题.

例1 在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，若c=2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为.

解析 依题，结合三角形面积的海伦公式S2=p（p-a）（p-b）（p-c）=1，其中p=a+b+c2.

整理，得

16=（a+b+c）（-a+b+c）（a-b+c）（a+b-c）

=-（a⁴+b⁴+c⁴）+2（a2b2+b2c2+c2a2）

=-（a⁴+b⁴+16b⁴）+2（a2b2+4b⁴+4a2b2）.

即9b⁴-10a2b2+a⁴+16=0.

而以上关于b2的一元二次方程的判别式△=（-10a2）2-36（a⁴+16）≥0，解得a2≥3，即a≥3，所以a的最小值为3.

3.2 面积最值问题

基于三角形条件的设置，可以借助海伦公式来构建三角形的面积表达式，利用表达式的结构特征来确定相应面积的最值及其应用问题.

例2 在△ABC中，BC=4，角A的平分线AD交BC于点D.若BDDC=13，则△ABC面积的最大值为.

解析 依题，角A的平分线AD交BC于点D，且BDDC=13.

结合三角形内角平分线定理，有

ABAC=cb=13.

即b=3c.

而△ABC的半周长p=12（a+b+c）=2+2c.

结合基本不等式，由海伦公式有△ABC面积

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=2（c2-1）（4-c2）

≤2×（c2-1）+（4-c2）2=3，

当且仅当c2-1=4-c2，即c=102时等号成立.

所以△ABC面积的最大值为3.

3.3 三角求值问题

基于三角形条件的设置，可以借助海伦公式来巧妙转化，为三角形中相关角所对应的三角函数的求值与应用创造条件.

例3 △ABC的边长分别为a，b，c，已知a+c=4b，求tanA2tanC2.

解析 设△ABC的内切圆O切△ABC的三边分别于点D，E，F，设BD=BF=x，AD=AE=y，CE=CF=z，设内切圆O的半径为r，△ABC的半周长p=12（a+b+c）=x+y+z.

由a+c=4b，可得（x+z）+（x+y）=4（y+z）.

整理，得y+z=23x.

而△ABC的面积

S=12（a+b+c）r=（x+y+z）r，

又由海伦公式可得

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=xyz（x+y+z）.

所以（x+y+z）r =xyz（x+y+z）.

则有r2=xyzx+y+z

=xyzx+2x/3=35yz.

所以tanA2tanC2=ry·rz=35.

3.4 综合应用问题

基于三角形的设置，可以借助海伦公式并合理交汇一些相关的知识，如平面向量、函数与方程、数列与不等式等

来应用.

例4 设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1gt;c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则（"" ）.

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

解析 不失一般性，不妨设a1=4，b1=5，c1=3，此时半周长p1=6，综合三角形面积的海伦公式可得S1=6（6-4）（6-5）（6-3）=12（4-1）.

接下来有a2=4，b2=72，c2=92，

此时半周长p2=6，则

S2=6（6-4）（6-72）（6-92）

=12（4-14）.

接下来有a3=4，b3=174，c3=154，

此时半周长p3=6，则

S3=6（6-4）（6-174）（6-154）

=12（4-116）.

接下来有a4=4，b4=318，c4=338，

此时半周长p4=6，则

S4=6（6-4）（6-318）（6-338）

=12（4-164）.

归纳可知S1lt;S2lt;S3lt;S4，故选B.

4 结束语

基于高中数学教材中“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等板块，合理进行阅读、理解、探究与应用，通过阅读形式来了解相关数学历史与史话的来龙去脉，探究数学文化的内涵与实质，对于提升学生的学习内涵与深度学习等方面都有帮助.而依托数学文化的融入与渗透，给数学问题的创新设置提供更多的应用场景，对于提升数学思维品质与关键能力、养成良好的数学阅读习惯与培养数学核心素养等方面都是十分有益的^[2].

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 武晨阳，黄秦安.从中国古代数学文化素材的提炼与运用说起[J].数学通报，2023，62（09）：7-11.

［责任编辑：李 璟］