素养立意下创设辅助题目提升数学解题思路

摘 要：数学活动的主要构成部分是数学解题活动，而在复杂的数学问题中，很多问题的题设条件与所求解之间的关系不够直接.借助三道标准高考数学真题为例，详细探讨辅助题目的背景、思路和构造方法，帮助学生理解从题设条件到分析构造的过程.

关键词：解题；辅助题目；高考数学

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0073-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：李瑞（2000.8—），男，陕西省甘泉人，硕士，从事中学数学教学研究.

近年，高考数学试题皆体现出高考内容改革的要求，无不是突出基础性，彰显综合性，最终聚焦于数学学科核心素养之下考查学生的关键能力^[1]. 波利亚认为，中学数学教学的首要任务就是加强解题训练^[2]，他在《怎样解题》一书中指出：辅助题目是一道新题目，考虑它并非为了它本身，而是希望通过对它的考虑能帮助解决原题.换言之， 辅助题目便是帮助我们解决正在面对的问题而创设出的一道新题目.

数学题中包含两个最基本要素：条件与结论，解题就是建立条件与结论之间的联系^[3].创设辅助题目解决数学问题的策略不只是解题策略，也可以将其运用到现实生活的各种问题中，实现化难为易、化繁为简.这样的解题教学无疑是与会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界不谋而合^[4].选取恰当的辅助题目有利于我们建立起数学条件与结论之间的联系.反之，不合理的辅助题目会导致我们远离“山顶”.基于此，笔者给出三种寻找辅助题目的方法.

1 构造等价辅助题目链

等价辅助题目链是指在进行数学解题的过程中，对原题进行若干个等价变形，直至将需要求解题目变换成熟悉的、简单的题目，然后利用已有知识经验对等价辅助题目链进行求解，求解的结果等价于原题的解.这种解题方法在数学问题中普遍应用，体现化繁为简、化难为易的解题思路.

例1 （2022年数学全国新高考Ⅱ卷第12题）若实数x，y满足x2+y2-xy=1，则（" ）.

A.x+ylt;1"" B.x+y≥-2

C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2

解析 此题可以将原题目条件x2+y2-xy=1等价转化为（x+y）2-1=3xy≤3（x+y2）2，（x2+y2）-1=xy≤x2+y22进行求解.本文旨在讨论通过构造等价辅助题目链的方法解决此问题.

观察题目条件x2+y2-xy=1，等价变换为（x-12y）2+34y2=1.联系sin2θ+cos2θ=1，利用换元法可构造出原题的等价辅助题目.

x-12y=cosθ，32y=sinθ等价转换为x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ.

以此构造出等价辅助题目，

已知x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ，求解x+y，x2+y2.

综上可知x+y=cosθ+3sinθ.

由辅助角公式可得x+y=2sin（θ+π6）.

x2+y2=53sin2θ+cos2θ+233sinθcosθ，利用二倍角公式与辅助角公式进一步等价转换为x2+y2=23sin（2θ-π6）+43.

即可求解出x+y≥-2，x2+y2≤2.

在上述解题过程中，原题目的已知条件经过一系列的等价转换，最终利用换元法得到有关三角函数求解最值的辅助题目.值得注意的是，解题过程中所有的等价变换都属于等价辅助题目链的一环.

2 原题的单向约简（普遍化与特殊化）

题目的单向约简是指在两个没有解决的题目①与②中，如果可以解决题目①，就可以得到题目②的解.如果首先解决题目②，是不可以得到题目①的解，但可以得到关于题目①的部分信息.通过增加或者减少题目条件，是可以对原题进行单向约简，构造出恰当的辅助题目.例如扩大题目条件限定范围，是可以创设出更为一般化的辅助题目，倘若对它求解成功，这意味着可以得到原题的解决，这是波利亚提出的普遍化思想.缩小题目条件限定范围，可以创设出原题的特殊形式，通过对它的求解也可以获得原题的部分信息，甚至是所有信息.

例2 （2021年全国乙卷理科第12题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则（" ）.

A.alt;blt;c B.blt;clt;a C.blt;alt;c D.clt;alt;b

解析

观察题目基本条件，根据对数的相关运算性质可得出agt;b.但b与c，a与c的大小关系无法直接求解.先考虑a与c的大小关系，利用作差法可比较两个数的大小关系，故对a与c进行作差可得a-c=2ln1.01-1.04+1.

作差得到的式子仅靠基本计算无法直接判断其正负性.因此，考虑利用构造函数方法创设出更具一般化的辅助题目，通过判断新构造的函数单调性等辅助解题.即观察已知条件，可构造函数f（x）=2ln（1+x）-1+4x-1.即创设出辅助题目为已知函数f（x）=2ln（1+x）-1+4x-1，判断f（0.01）的正负.

易知函数f0=0， f ′（x）=2x+1-21+4x.

令f ′（x）=0，解得x1=0或x2=2，即在［0，2］上，函数f（x）单调递增.

综上所述，可知f（0.01）gt;0，即agt;c，同理，可得出blt;c.

实际上，在面对某些特殊问题，利用各种单项约简的方法将其过渡到一个共性问题之中，是有利于解决初始问题的.共性问题解决了，其特殊情况自然获得解决，这也是波利亚曾提过的创造者悖论.

3 巧用RMI原则创设辅助题目

RMI原则是徐利治教授提出的关系映射反演原则的简称，它的应用领域极其广泛，是属于一般科学方法论的范畴，具体说明如下：RMI原则主要是指在较为复杂的关系结构Y中的问题原象X难以解决时，利用某种映射M，将关系

结构Y映射为一个熟悉的、简单的关系结构Y′，求解关系结构Y′中关于X的映像X′，再通过反演M^-1将X确定^[5].在此过程中，X′便是有助于解决原题的辅助题目.

例3 （选自《单谈数学》）椭圆x2a2+y2b2=1的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为D，C，P为椭圆上一动点，证明：S△APD·S△BPC=S△ACP·S△BPD.

解析 椭圆问题可通过RMI原则映射为关于圆的问题，相比椭圆，圆具有良好的几何性质，通过解决关于圆的辅助题目，进而反解出关于椭圆的问题.

作仿射变换M：x=x′，y=y′，可知椭圆的变换辅助圆：x′2+y′2=1，点A，B，C，D，P变换为点A′，B′，C′，D′，P′.

由于椭圆经过仿射变换后封闭图形的面积比保持不变，即创设辅助题目：

圆x′2+y′2=1的左、右顶点分别为A′，B′，上、下顶点分别为D′，C′，P′为圆上一动点，如图1，证明：S△A′P′D′·S△B′P′C′=S△A′C′P′·S△B′P′D′.

设点P′坐标为（x′，y′），已知A′D′=A′C′=B′D′=

B′C′=2，

lA′D′：x′-y′+1=0，lB′C′：x′-y′-1=0，

lA′C′：x′+y′+1=0，lB′D′：x′+y′-1=0.

故利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式可求出各个三角形的面积.

S△A′P′D′=12|x′-y′+1|，S△B′P′C′=12|x′-y′-1|，

S△A′C′P′=12|x′+y′+1|，SB′P′D′=12|x′+y′-1|.

则S△A′P′D′·S△B′P′C′=12|x′-y′+1|·12|x′-y′-1|=14|-2x′y′|，

S△A′C′P′·S△B′P′D′=12|x′+y′+

1|·12|x′+y′-1|=14|2x′y′|.

综上可知S△A′P′D′·S△B′P′C′=S△A′C′P′·S△B′P′D′.

即S△APD·S△BPC=S△ACP·S△BPD.

4 结束语借助辅助题目解决数学问题，本质上是在学生已有的认知基础上出发，利用各种创设辅助题目的方法，绕过原题的困难之处，达到化难为易、化繁为简的效果，这不仅拓宽了学生的解题思路，还可以引导学生建立知识体系.从过去的知识立意、能力立意到目前素养立意的数学命题下，教师的解题教学应该注重解题教学过程，主动去关注学生的数学思维发展，让学生可以在解题教学中感受到数学的实用性，助力数学学科核心素养的落地.

参考文献：

［1］金克勤，陈群星.平和之中有乾坤 变化之处见功力：2023年高考“数列”专题解题分析[J].中国数学教育，2023（Z4）：47-60.［2］ G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2017.

［3］ 罗增儒，罗新兵. 作为数学教育任务的数学解题 [J].数学教育学报，2005（01）：12-15.

［4］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 徐利治.数学方法论选讲[M].大连：大连理工大学出版社，2018.

［责任编辑：李 璟］