一道导数试题的命制历程与思考

摘 要：含参导数题对分析能力和计算能力要求很高，突出考查构造函数、分类讨论、转化与化归等重要思想方法.研究高考试题，围绕函数的结构特征进行内容挖掘，站在命题人的角度，通过命制一道内涵丰富、解法灵活的导数试题，加深对条件、结论的反思，优化解题策略.

关键词：导数；试题命制；思考

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0002-04

收稿日期：2024-08-05

作者简介：胡贵平（1978—），男，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

含参导数题是函数与导数中常见的题型，突出考查构造函数、分类讨论、转化与化归等重要思想方法.从命题人的思路出发，探究试题的源流、命制方法、解答过程，对知识点的理解会更加深入，解题能力也会显著提升.

1 高考再现

题目 （2020年新高考全国Ⅰ卷山东）已知函数f（x）=ae^x-1-lnx+lna.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

分析 第（2）问f（x）=ae^x-1-lnx+lna=e^lna+x-1-lnx+lna≥1等价于e^lna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=e^lnx+lnx.

令g（x）=ex+x，上述不等式等价于g（lna+x-1）≥g（lnx），指对同构，利用函数的单调性可以解决.

命题者是如何想到构造函数f（x）=ae^x-1-

lnx+lna的呢？ 根据反函数的性质，两个函数y=f（x）与y=g（x）互为反函数，若f（x）≥g（x）（或f（x）gt;g（x））恒成立，则f（x）≥x（或f（x）gt;x）恒成立.命题者首先确定指数型函数y=ae^x-1，求其反函数y=lnx-lna+1，利用原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，构建不等式ae^x-1≥lnx-lna+1，变形得到ae^x-1-lnx+lna≥1.

2 命制历程

以切线方程和含参不等式求取值范围为落脚点，结合高考导数经常出现的6个函数y=xex，y=exx，y=xex，y=lnxx，y=xlnx，y=xlnx，第一步选定对数型函数y=lnxa，第二步求其反函数y=e^ax，第三步构建不等式e^axgt;lnxa并变形改写，采用“穿马甲”的方式对它进行改造和包装.

3 命制试题

已知函数f（x）=e^ax-lnx-1（其中agt;0，e为自然对数的底数）.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）gt;（1a-1）lnx，求a的取值范围.

4 解法探究

4.1 第（1）问解析

解析 当a=1时，f（x）=ex-lnx-1，

所以f ′（x）=ex-1x.

所以k=f ′（1）=e-1.

因为f（1）=e-1，所以切点坐标为（1，e-1）.

所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-1）=（e-1）（x-1）.

即y=（e-1）x.

4.2 第（2）问解析

解法1 （隐零点法） 设g（x）=f（x）-（1a-1）lnx=e^ax-1alnx（0，+∞），则g′（x）=ae^ax-1ax.

令g′（x）=0，可得ae^ax=1ax.

由指数型函数和反比例函数在第一象限的图象，可知y=ae^ax和y=1ax有且只有一个交点.设交点为（x0，y0），当0lt;xlt;x0时，g′（x）lt;0，从而g（x）在（0，x0）上单调递减；当xgt;x0时，g′（x）gt;0，从而g（x）在（x0，+∞）上单调递增.

所以g（x）在x=x0处取得极小值，且为最小值，所以g′（x0）=0.即有ae^ax0=1ax0.

令g（x0）=0，即有e^ax0-1alnx0=0.

联立ae^ax0=1ax0，e^ax0-1alnx0=0，

解得x0=e，a=1e.

则当agt;1e时， g（x）gt;0.

即f（x）gt;（1a-1）lnx.

所以a的取值范围为（1e，+∞）.

解法2 （ 构建同构式）由f（x）gt;（1a-1）lnx，得e^axgt;1alnx.

即axe^axgt;xlnx.

所以axe^axgt;lnx·e^lnx.

令g（t）=tet，则g（ax）gt;g（lnx）.

因为g（t）=tet为单调增函数，

所以axgt;lnx.

又agt;0，所以agt;lnxx.

设h（x）=lnxx（xgt;0），则

h′（x）=1-lnxx2（xgt;0）.

令h′（x）=0，得x=e.

所以h（x）在（0，e）上单调递增，h（x）在（e，+∞）上单调递减.

所以h（x）max=h（e）=1e.

所以agt;1e.

所以a的取值范围为（1e，+∞）.

解法3 （借助反函数） 由f（x）gt;（1a-1）lnx，得e^axgt;1alnx .

因为y=e^ax与y=1alnx互为反函数，所以e^axgt;

1alnx等价转化为e^axgt;x（或xgt;1alnx）.

即axgt;lnx.所以agt;lnxx.

设h（x）=lnxx（xgt;0），则

h′（x）=1-lnxx2（xgt;0）.

令h′（x）=0，得x=e.

所以h（x）在（0，e）上单调递增，h（x）在（e，+∞）上单调递减.

所以h（x）max=h（e）=1e.

所以agt;1e.

所以a的取值范围为（1e，+∞）.

第（1）问在基础性的层次上考查数学核心素养，运算求解关键能力；考查导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程等必备知识.第（2）问在综合性和应用性上考查理性思维、数学探索等学科素养，转化与化归等思想方法，推理论证关键能力，以及导数在研究函数性质中的应用和不等式知识.不等式求参数的取值范围问题，一般是转化为函数的最值问题，如果不等式变形后，可化成一边是指数型函数，一边是对数型函数，且两个函数互为反函数，可以利用“互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称”的性质，将不等式转化为易于分离参数的不等式.运用反函数可省去一次求导分析单调性，和指对同构化处理异曲同工.值得注意的是，如果一个题目可以用反函数处理，那么它一定能同构处理，同构是处理指对问题的通性通法.

5 试题变式

变式 已知函数f（x）=ex-aln（ax-a）+a（其中agt;0，e为自然对数的底数）.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）若f（x）gt;0，求a的取值范围.

5.1 第（1）问解析

解析 当a=1时，f（x）=ex-ln（x-1）+1，

所以f ′（x）=ex-1x-1.

所以k=f ′（2）=e2-1.

因为f（2）=e2+1，

所以切点坐标为（2，e2+1）.

所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为

y-（e2+1）=（e2-1）（x-2）.

即y=（e2-1）x-e2+3.

5.2 第（2）问解析

解法1 （隐零点法）f（x）=ex-aln（ax-a）+a=ex-aln（x-1）-alna+a（xgt;1），

所以f ′（x）=ex-ax-1.

令f ′（x）=0，可得ex=ax-1.

由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得y=ex和y=ax-1有且只有一个交点，设交点为（x0，y0），当1lt;xlt;x0时，f ′（x）lt;0，从而f（x）在（1，x0）上单调递减；当xgt;x0时，f ′（x）gt;0，从而f（x）在（x0，+∞）上单调递增.

所以f（x）在x=x0处取得极小值，且为最小值，即f（x）min=f（x0）.

所以e^x0-aln（x0-1）-alna+agt;0.

又e^x0=ax0-1，

所以ax0-1-aln（x0-1）-alna+agt;0.

即lnalt;1x0-1-ln（x0-1）+1.

因为ln（x0-1）lt;x0-2，

所以lnalt;1x0-1+x0+1.

所以lnalt;2.

所以0lt;alt;e2.

所以a的取值范围（0，e2）.

解法2 （构建同构式）由f（x）gt;0，得

ex-aln（ax-a）+agt;0 .

即exagt;ln（x-1）+lna-1.

所以e^x-lna+x-lnagt;ln（x-1）+x-1.

即e^x-lna+x-lnagt;e^ln（x-1）+ln（x-1）.

令g（t）=et+t，则

g（x-lna）gt;g［ln（x-1）］.

因为g（t）=et+t为单调增函数，

所以x-lnagt;ln（x-1）.

即-lnagt;ln（x-1）-x.

因为ln（x-1）-x≤x-2-x=-2，

所以-lnagt;-2.

所以0lt;alt;e2.

所以a的取值范围为（0，e2）.

解法3 （借助反函数）由f（x）gt;0，得

ex+agt;aln（ax-a） .

即exa+1gt;ln（ax-a）（xgt;1）.

因为y=exa+1与y=ln（ax-a）互为反函数，两个函数图象关于直线y=x对称，所以exa+1gt;

ln（ax-a）（xgt;1）等价转化为exa+1gt;x（xgt;1）.

所以alt;exx-1（xgt;1）.

设h（x）=exx-1（xgt;1），则h′（x）=ex（x-2）（x-1）2.

令h′（x）=0，得x=2.

所以h（x）在（1，2）上单调递减，h（x）在（2，+∞）上单调递增.

所以h（x）min=h（2）=e2.

所以0lt;alt;e2.

即f（x）gt;0.

所以a的取值范围为（0，e2）^［1］.

6 一点思考

此题仍然与高考题有着千丝万缕的联系，因为将条件进行变换，清除了原来的痕迹，这样增加了难度.不等式用分离参数的方法很难执行时，对函数求导，分析函数的性质，采用隐零点法，借助隐零点消元，求最小值时用到切线放缩 lnxlt;x-1，对思维的灵活性要求较高.eaalt;blnb有三种同构方式.（1）可以保留左边，对右边同构，eaalt;blnbeaalt;e^lnblnb， 可构造函数F（x）=exx模型；（2）可以保留右边，对左边同构，eaalt;blnbealnealt;blnb，可构造函数F（x）=xlnx模型；（3）可以两边取对数，对两边同构，eaalt;blnb

a-lnalt;lnb-ln（lnb），可构造函数F（x）=x-lnx模型.通过变形，将不等式两边的函数化为互为反函数，y=ex与y=lnx互为反函数，y=ex+k与y=ln（x-k）互为反函数，y=aex与y=ln（ax）互为反函数，y=exa+k与y=ln［a（x-k）］互为反函数，相比较之下，反函数法简便快捷.

7 结束语

命制一道高质量的题目，要钻研教材与高考题，厘清思路，看透优秀试题命制的心路历程，形成自己的体会；要挖掘课本反映数学本质的相关例习题，理解其蕴含的数学思想和方法，选择承载着基本原理和思想方法的视角，激发数学思维，积累解题经验.

参考文献：

［1］胡贵平.指对同构法处理导数题［J］.数理化解题研究，2021（01）：30-32.

［责任编辑：李 璟］