数学期望的性质在新高考中的应用

摘 要：从2020年新高考以来，有多道试题涉及数学期望的线性性质.文章将介绍数学期望的线性性质在高考试题中的应用.

关键词：数学期望的性质；高考；随机变量

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0100-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：陈腾（1991.3—），男，江西省高安人，本科，从事高中数学教学研究.

离散型随机变量的数字特征是高考的常考内容，此类试题阅读量大，计算量大，知识综合.在考试时要仔细分析题意，确保计算正确，特别是分布列不能出错，因为这是其他数据正确的前提.本文给出一个数学期望的性质，结合近年的高考真题，探讨该性质在解决数学期望相关问题中的应用.

1 数学期望

若离散型随机变量X的概率分布为P（X=xi）=

Pi，i=1，2，…，n，其中pi≥0，i=1，2，…，n，且∑ni-1pi=1，则称E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑ni-1xipi为随机变量X的均值或数学期望.

线性性质：设X，Y为两个随机变量，则有

E（X+Y）=E（X）+E（Y）^［1］.

可推广为E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）.

2 试题分析

原题1 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序

无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解析 （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，则X的取值可能为100，20，0.因为各题互相独立，所以P（X=100）=0.8×0.6=

0.48，P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32，P（X=0）=

1-0.8=0.2，故随机变量X的分布列见表1：

则X的数学期望E（X）=100×0.48+20×

0.32+0×0.2=54.4.

（2）若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的取值可能为100，80，0.因为各题互相独立，所以P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，P（Y=80）=0.2×0.6=0.12，P（Y=0）=1-0.6=0.4，故随机变量Y的分布列见表2：

则Y的数学期望为E（Y）=100×0.48+80×0.12+0×0.4=57.6.

结合（1）知E（Y）gt;E（X），所以小明应先选B类问题作答.

评注 标准答案是根据期望的定义来解答，若用数学期望的线性性质求E（Y），解法如下：若小明先回答B类问题，其回答B类问题得分的期望E（Y1）=

0.6×80=48，回答A类问题得分的期望

E（Y2）=0.6×0.8×20=9.6，所以E（Y）=E（Y1）+E（Y2）=57.6.

原题2 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）.

解析 设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，

P（X=0）=P（A1A2A3）=0.6×0.5×0.5=320，

P（X=1）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=820，

P（X=2）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=720，

P（X=3）=P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5=220.

故随机变量X的分布列见表3：

评注 用数学期望的线性性质解法如下：由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5，所以甲获得优秀奖的期望E（X1）=0.4，乙获得优秀奖的期望E（X2）=0.5，丙获得优秀奖的期望E（X3）=0.5，所以E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）=1.4.

原题3 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

解析 因为qi=16×（25）^i-1+13，i=1，2，…，n，

所以当n∈N*时，E（Y）=q1+q2+…+qn=

16×1-（

2/5）n1-2/5+n3=518［1-（25）n］+n3，

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

评注 本题中的已知条件就是数学期望的线性性质的一种特殊形式：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则E（∑ni=1Xi）=E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=∑ni=1qi.

原题4 （2024年新课标全国Ⅰ卷数学第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

解析 由于对称性，不妨固定乙四轮选卡的数字依次为（2，4，6，8），则n（Ω）=A44=24.

记事件A=“四轮比赛后，甲的总得分不小于2分”，则A={（1，5，7，3），（3，1，7，5），（3，5，1，7），（3，5，7，1）（3，7，1，5），（3，7，5，1），（5，1，7，3），（5，3，7，1），（5，7，1，3），（5，7，3，1），（7，5，1，3），（7，5，3，1），所以P（A）=1224=12.

评注 本题若应用数学期望的线性性质解题，可避免繁杂的列举法，思维独特，也是一种妙解.具体解法如下：设甲在四轮游戏中的得分分别为X1，X2，X3，X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率P（Xk=1）=64×4=38，所以E（Xk）=38（k=1，2，3，4）.从而E（X）=E（X1+X2+X3+X4）=∑4k=1E（Xk）=∑4k=138=32.

记pk=P（X=k）（k=0，1，2，3）.

若甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p0=1A44=124.

若甲得3分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p3=1A44=124.

而X的所有可能取值是0，1，2，3，即p0+p1+p2+p3=1，p1+2p2+3p3=E（X）=32.

所以p1+p2+112=1，p1+2p2+18=32，两式相减得p2+124=12，则p2+p3=12.

故甲的总得分不小于2的概率为p2+p3=12.

3 结束语

研究高考真题，不仅仅是提升教师专业能力、形成教师个人解题成果的过程，更是学生探索解题思路、主动思考的过程.在备考学习中要引导学生加强解题方法的归纳与总结，从高考真题的研究和反思中掌握高考的变化趋势和命题规律，举一反三，提升备考效率.数学期望的线性性质虽然在高中课本中并没有涉及，但由以上例子我们可以看出，数学期望的线性性质在高考中频繁应用.数学期望的线性性质可以帮我们简化运算过程，甚至可以提供一条解题捷径，同时该性质也可以用来快速验证用定义法解出的答案是否正确.

参考文献：

［1］邓启龙.随机变量的数学期望和方差的一些性质[J].高中数理化，2023（01）：48-50.

［责任编辑：李 璟］