利用作差构造法解决不等关系

摘 要：导数综合应用问题是高考数学中常考的知识点，文章选取了在导数中利用作差构造法解决不等关系的例题进行了分析，并在文末给出了思考.

关键词：导数；作差构造法；不等关系

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0085-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：林友枝（1973.10—），男，福建省连江人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

2019年，教育部明确提出要立足发展育人目标，构建包括“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”在内的高考考查内容体系^[1].数学学科作为高考的重要部分，其影响是不容置疑的.导数是高等数学的基本概念之一，又是中学数学学习的一个重要主干知识，是联系数学与其他自然学科的基础，也是研究函数性质的重要工具之一.其中，函数、导数与不等式的综合型试题是高考数学试卷中的常客，不等式的证明是高考数学中的一个重要考点，常以函数为背景.其中作差构造法是证明不等关系的一个重要方法，根据不等式，利用作差构造法得出新的函数关系，并转化为函数的最值问题，利用导数的单调性、最值等基本性质加以证明.

1 引例证明

1.1 引例1证明

引例1 证明不等式ex≥x+1成立.

证明 令f（x）=ex-x-1（x∈R），则f ′（x）=ex-1.

令f ′（x）=0，则x=0.

当x变化时，f ′（x），f（x）的变化见表1.

所以f（x）min=f（x）极小值=f（0）=0.

故f（x）≥0，即ex-x-1≥0成立，原不等式得证.

通过观察可以发现，若将上述不等式中的x换成lnx，则有不等式lnx≤x-1成立.

1.2 引例2证明

引例2 证明不等式lnx≤x-1成立.

证明 令g（x）=lnx-x+1（xgt;0），则

g′（x）=1x-1.

令g′（x）=0，则x=1.

当x变化时，g′（x），g（x）的变化见表2.

表2 g′（x），g（x）变化表

x（0，1）1（1，+∞）

g′（x）+0-

g（x）↑极大值↓

所以g（x）max=g（x）极大值=g（1）=0.

故g（x）≤0，即lnx-x-1≤0成立，原不等式得证.

引例1和引例2是一类比较容易求解的不等式问题，这类问题的基本解题步骤如下：①要证

f（x）≥g（x）；②需证f（x）-g（x）≥0；③令f（x）-

g（x）=h（x）；④即h（x）min≥0.

1.3 证明小结

由引例1与引例2的证明过程可以推出经典不等式链条（如图1），这在解决不等关系中有着重要作用.对于这种类型的题目，学生能通过已有的知识经验较容易求解出问题的解，可以较大程度调动学生的积极性，迸发学习兴趣与动力，促进教学.

2 例题剖析

例1 求证：ex≥ln（x+2）.分析 例1是建立在引例1与引例2的基础上的进一步深化，由引例1可以知道不等式ex≥x+1可以看成是函数y=ex与y=x+1的图象之间的位置关系，引例2中的不等式lnx≤x-1可以看成是函数y=lnx与y=x-1的图象之间的位置关系，而y=x+1与y=x-1可以看成是y=x分别向左、向右平移1个单位长度后的图象与y=ex，y=lnx图象之间的位置关系，如图2所示.

由图3可以发现，不等式ex≥ln（x+2）可以看成是函数y=ex与y=ln（x+2）的图象之间的位置关系，其中函数y=ln（x+2）的图象可以看成是把函数y=lnx的图象向左平移2个单位长度后得到的图象，利用几何画板可以快速作出两函数图象，并根据图象位置得出结论ex≥ln（x+2）.

下面进行证明：令h（x）=ex-ln（x+2），xgt;-2，

则h′（x）=ex-1x+2.令h′（x）=0，发现无法解出一个具体的x0，因此进一步求导.

令t（x）=ex-1x+2，则t′（x）=ex+1（x+2）2gt;0.

即h′（x）在（-2，+∞）上单调递增.

因为limx→-2+h′（x）=-∞，limx→+∞h′（x）=+∞，

因此存在x0，使得h′（x0）=0.

因为h′（0）=1-12gt;0，h′（-1）=1e-1lt;0，

所以h′（-1）h′（0）lt;0，在（-1，0）上存在x0使得h′（x0）=0，故当x∈（-2，x0）时，h′（x）lt;0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）gt;0，h（x）单调递增.

于是h（x）min=h（x0）=e^x0-ln（x0+2）.

又h′（x0）=e^x0-1x0+2=0，则e^x0=1x0+2.

两边取对数，得x0=-ln（x0+2）.

所以h（x）min=1x0+2+x0=x20+2x0+1x0+2=（x0+1）2x0+2≥0.

即ex≥ln（x+2）.

评析 本题的难点在于无法确切求出零点x0的值，这类问题属于隐零点问题.隐零点解题步骤：①求一阶导f ′（x）；②判断导数的增减性（一般为恒增或恒减），需要求二阶导f ″（x）；③虚设一阶导f ′（x）的零点x0，根据零点存在定理求出x0的取值范围，根据e^lnx=x，lnex=x，化成同一阶式；④代入上一步化简的结果f（x0）中得出f（x）的最值的直观表示.

例2 求证：xex≥x+lnx+1.

证明 令f（x）=xex-x-lnx-1，xgt;0，

则f ′（x）=（x+1）ex-1-1x，

f ″（x）=（x+2）ex+1x2gt;0，

所以f ′（x）在（0，+∞）上单调递增.

又f ′（1）=2e-2gt;0，f ′（14）=54e¹⁴-5lt;0，故在（14，1）存在一个零点x0使得f ′（x0）=0，当x∈（0，x0）时，f ′（x）lt;0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f ′（x）gt;0，f（x）单调递增.

所以f（x）min=f（x0）=x0e^x0-x0-lnx0-1.

因为f ′（x0）=（x0+1）e^x0-1-1x0=0.

所以（x0+1）e^x0=x0+1x0.

即lnx0e^x0=0.即lnx0+lne^x0=0.即lnx0=-x0.

所以f（x）min=1-x0+x0-1=0.

即xex≥x+lnx+1得证.

3 真题赏析

函数不等式的证明问题通常会比较复杂，而且常常以压轴题的形式出现在各类考试中.其中，作差构造法解决不等式是常用的方法，下面列举几个实例供读者研究.

题1 （山东青岛2023年高三年级调研检测22题第2问）已知a≥1e，函数f（x）=aex-lnx+lna.求证：f（x）≥-4x+4.

题2 （柳州市2024届新高三摸底考试22题第2问）已知函数f（x）=2lnx-ax.若f（x）≤e^ax-x2恒成立，求实数a的取值范围.

题3 （贵州省高三年级适应性联考一22题第2问）已知函数f（x）=xlnx+a-1，g（x）=asinx+a-2（a∈R）.证明：当a∈［-1，1］时，f（x）gt;g（x）.4 结束语

高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质^[2].函数的单调性、极值和最值是研究导数问题的基础，利用导数解决函数不等关系的问题是解题的关键，所有问题都会最终归结为函数的单调性判断，而单调性问题又与导函数的零点有着密切的关系，零点问题是函数综合问题的核心.利用导数研究函数的不等关系的关键是利用作差构造法证明不等式，重点在于作差与构造，其中渗透了转化与化归思想、函数与方程思想的培养，对培养学生的运算能力、建模能力与逻辑推理能力也是十分关键的.在高考备考中，教师也应该将重点放在学生思维与能力的培养上，使学生能够举一反三，触类旁通，实现育人的真正目标.

参考文献：

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］