化归与转化思想在解题中的应用

摘 要：化归与转化思想在高中数学中普遍使用，尤其是在求解一些经典的数学问题中，化归与转化思想往往是解决数学问题的第一道工序.文章从四个方面举例分析化归与转化思想在解题中的应用.以提高学生的解题能力，发展学生的学科核心素养.

关键词：高中数学；化归与转化思想；应用

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0076-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：

阚胜男（1997.8—），女，江苏省南通人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

化归与转化思想贯穿于整个高中数学之中，是应用最为广泛的数学思想方法.究其原因是化归与转化思想能够在各种类型的试题解答中都发挥效果，而且学生也能普遍接受和理解^[1].下面结合具体例题来谈谈化归与转化思想在高中数学解题中的应用.

1 化归与转化思想常用到的方法

方法1 直接转化法.将复杂问题直接转化为熟悉的问题，如在解三角形中，主要的转化有角度的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的转化等.

方法2 换元法.通过换元，可将无理式变为有理式，将较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的问题.

方法3 数形结合法.将问题中数量关系转化为图形关系，或者将图形关系转化为数量关系，使问题变得简单、直观.

方法4 等价转化法.将问题转化为一个相对简单且易于解决的等价命题，达到化归的目的.

方法5 特殊化方法.将问题向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题.

2 化归与转化思想的应用

2.1 补集思想

例1 中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有.

解析 5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有C15C13C24=90种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有C13C13C12=18种，根据补集思想可知甲乙不在同一实验舱的种数有90-18=72种.

点评 运用组合公式求出所有的情况和甲乙在同一实验舱的情况，然后利用补集思想即可求解.

例2 已知函数f（x）=x-1.若f（a）+f（b）+f（c）=0，证明：a，b，c这三个数中至少有一个数不大于1.

证明 因为f（a）+f（b）+f（c）=0，

所以a+b+c=3.

假设a，b，c这三个数中没有一个数不大于1，即每个数都大于1，即agt;1，bgt;1，cgt;1，则

agt;1，bgt;1，cgt;1.

所以a+b+cgt;3，这与a+b+c=3矛盾，假设不成立.

所以a，b，c这三个数中至少有一个数不大于1.

点评 考虑到正面分析比较复杂，用补集思想，从对立面思考.利用反证法，先假设原命题成立，推出矛盾，故假设不成立，于是问题得证^[2].

2.2 将多变量问题转化为单变量问题

例3 若锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，其外接圆的半径为3，且acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，则b2+a2b的取值范围为.

解析 由acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，

得acosBcosC+asinBsinC-a（cosBcosC-sinBsinC）=23csinBcosA.

即asinBsinC=3csinBcosA.

由正弦定理得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA.

显然sinCgt;0，sinBgt;0，所以sinA=3cosA.

所以tanA=3.

因为A∈（0，π2），

所以A=π3.

因为△ABC外接圆的半径为3，

所以asinA=bsinB=23.

所以a=3，b=23sinB.

所以b2+a2b=b+a2b=23sinB+332sinB=23（sinB+34sinB）.

因为△ABC为锐角三角形，

所以0lt;Blt;π2，0lt;2π3-Blt;π2.

解得π6lt;Blt;π2，即sinB∈（12，1）.

令f（x）=x+34x，x∈（12，1），根据对勾函数的性质可知函数f（x）=x+34x在（12，32）上单调递减，在（32，1）上单调递增，且f（12）=2，f（32）=3，

f（1）=74.

所以f（x）∈［3，2）.

即sinB+34sinB∈［3，2）.

所以23（sinB+34sinB）∈［6，43）.

即b2+a2b的取值范围为［6，43）.

点评 由已知条件解出A，再运用正弦定理边化角，将待求式子转化为仅含角B的式子，最后构造函数，利用对勾函数的单调性求出所求式子的范围.

2.3 函数与方程、不等式间的转化

例4 已知函数f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+cos（πx），则方程f（x）=1在区间［-2，4］上的所有实根之和为（" ）.

A.0" B.3" C.6" D.12

解析 由题意得f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+

cos（πx）=（x-1）2cos（πx），

f（2-x）=（2-x-1）2cos［π（2-x）］=（1-x）2cos（2π-πx）=（x-1）2cos（πx）=f（x），

所以f（x）的图象关于x=1对称.

当x=1时，f（x）=0≠1；

当x≠1时，令f（x）=1可得

cos（πx）=1（x-1）2.

当x=2时，cos2π=1（2-1）2=1；

当x=4时，cos4π=1gt;1（4-1）2=19.

在同一直角坐标系中画出y=cos（πx），y=1（x-1）2的图象，如图1所示.

由图1可知y=cos（πx），y=1（x-1）2在（1，4］上有且仅有3个交点，所以所有的实根之和为3×2=6.故选C.

点评 先找到函数的对称轴，然后将方程有根问题转化为函数图象交点问题，作出草图，并分析图象，利用数形结合可得到答案.

2.4 形体位置关系的转化

例5 已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，且PA=PB=PC，三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S，若S∈［4π9，4π5］，则点P到平面ABC的距离的取值范围为.

解析 设点P到平面ABC的距离为h，内切球半径为r，则三棱锥P-ABC的表面积为3h2+13+3.

由等体积法，得13（3h2+13+3）r=13×3h.

即r=h3h2+1+1=13+1/h2+1/h.

当h增大时，r随之增大.

设h的取值范围为［m，n］，由S∈［4π9，4π5］，得r∈［13，55］.

所以当h=m时，r=13=13+1/m2+1/m；

当h=n时，r=55=13+1/n2+1/n，

解得m=1，n=5.

所以点P到平面ABC的距离的取值范围为［1，5］.

点评 先设点P到平面ABC的距离为h，并用其表示出三棱锥P-ABC的表面积，然后通过等体积法转化求解距离的取值范围.

3 结束语

化归与转化思想在高中数学解题教学中的应用极为广泛，在很多数学问题的解决中都会用到.学生如果能灵活进行问题转化，复杂问题就会变得简单，陌生问题就会变得熟悉，综合问题也能够得到有效的拆分^[3].这样，就可以在无形之中提高学生的解题能力，发展学生的学科核心素养.

参考文献：

［1］罗文军.化归与转化思想在解题中的应用[J].广东教育（高中版），2023（02）：20-27.

[2] 李鸿昌，曾吉相.调整法在不等式证明中的应用[J].数学通讯，2023（19）：50-53.

[3] 李鸿昌.一道新高考导数压轴题的解法探究[J].高中数学教与学，2021（15）：22-23.

［责任编辑：李 璟］