数学文化 源于生活

摘 要：文章将近几年的数学文化高考题进行归类赏析，旨在透视高考信息，把脉数学文化高考命题，体会数学之美，感受数学学习的重要性.

关键词：数学文化；核心素养；题型分析；教学建议

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0053-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：崔绪军（1972.10—），男，江苏省淮安人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动^［1］.

在近年来的高考数学试题中，对数学文化的考查十分常见.从题目类型方面看，主要以选择题或填空题为主；从难易程度方面看，属于容易题或中档题；从知识考点方面看，分布十分广泛；从问题背景方面看，主要有以下六个方面内容：（1）源自古今中外数学名题，（2）源自古今中外著名定理，（3）源自古今中外数学名著，

（4）源自古今中外数学家故事，（5）源自古今中外数学发展史，（6）源自数学与生活应用问题.着重考查了学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模、数据分析等数学核心素养.

1 对数学文化高考题进行归类赏析

1.1 渗透数学文化的立体几何问题

例1 （2020年全国新高考Ⅱ卷第3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（" ）.

A. 5-14 B. 5-12 C. 5+14 D. 5+12

分析 画出金字塔对应的正四棱锥示意图（如图1），设CD=x，PE=y，利用PO2=12CD·PE得到关于x，y的方程，解方程即可得到答案.

解析

化简，得4（yx）2-2·yx-1=0，解得yx=1+54.故选C.

1.2 渗透数学文化的概率统计问题

例2 （2023年天津高考数学试卷第7题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃于渊.”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图2所示，计算得出的样本相关系数为r=0.864 2，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y^=0.750 1x+0.610 5，根据以上信息，如下判断正确的为（" ）.

A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系

B.花瓣长度和花萼长度负相关

C.花萼长度为7 cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.861 2 cm

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.864 2

分析 由散点图的特征及经验回归方程可以进行结论的判断.

解析 如图2，由散点的集中程度易知，花瓣长度和花萼长度具有相关性，A选项错误.

本题散点的分布是从左下到右上，所以花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误.

把x=7代入经验回归方程y^=0.750 1x+

0.610 5可得y^=5.861 2 cm，C选项正确.

由于r=0.864 2是相关系数，从样本中取出来一部分数据，直接影响这组数据的相关性，相关性可能变强，也可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.864 2，D选项错误.

故选C.

1.3 渗透数学文化的解析几何问题

例3 （2024年全国新高考Ⅰ卷第11题）造型“”可以做成美丽的丝带，将其看作图3中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（alt;0）的距离之积为4，则（" ）.

A.a=-2

B.点（22，0）在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4x0+2

分析 本题以几何造型“”为背景，给出了几何曲线问题，根据题设可得到造型的曲线方程，将原点代入曲线方程后可求出参数a，进一步即可验证求解.

解析 如图3，对于A：设曲线上的动点P（x，y），则xgt;-2且（x-2）2+y2×|x-a|=4.

因为曲线过坐标原点，所以（0-2）2+02×|0-a|=4，解得a=-2，故A正确.

对于B：曲线方程为（x-2）2+y2×|x+2|=4，而xgt;-2，故（x-2）2+y2×（x+2）=4.

当x=22，y=0时，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，故（22，0）在曲线上，故B正确.

对于C：由曲线的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4gt;0，故此时y2gt;1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.

对于D：当点（x0，y0）在曲线上时，由C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，故4x0+2≤y0≤-4x0+2，故D正确.

故选ABD.

1.4 渗透数学文化的数列问题

例4 （2022年全国新高考Ⅱ卷第3题）图4是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图5是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=.

分析 本题以古代建筑为背景，考生需读懂题中的“举”和“步”，根据题意中k1，k2，k3成等差数列即可求解.

解析 "如图5，设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3.

依题意，有k3-0.2=k1，k3-0.1=k2，且

DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，

所以0.5+3k3-0.34=0.725.

故k3=0.9.

2 学习数学文化题的建议2.1 重视夯实基础

所谓“基础”，是指基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，它是学生形成素养的前提.脱离了“基础”，素养就成了

无源之水、无本之木.对于数学文化的学习应当立足课本，紧扣高考真题，把教材中的显性和隐性的文化资源加以挖掘和拓展.教师要具有文化育人的思想意识，善于把国内外优秀的传统文化、时代发展的背景等文化素材整合于我们的常态教学之中，并强化学生的数学阅读与理解.解数学文化试题的关键是过好语言这一关，解题基本通法是：认真阅读→数学建模→对准目标→合理转化.阅读是解题的门户，建模是解题的关键.

2.2 培育核心素养，让学生学习更有内驱力

学生学习数学，除了要掌握必备的数学知识和必要的数学技能之外，更重要的是获得基本的数学素养，会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.数学教师要严格执行新课程标准，用数学的思考方式引导学生分析问题，揭示问题所蕴含的数学背景，再进一步将问题一般化.这不但能解决一个问题，还能解决一类问题，起到举一反三、触类旁通的作用.我们的课堂中要不断地渗透数学文化，譬如数学史的渗透、数学家故事的融入、理性精神的领会等，通过这样的文化渗透，数学“美”的享受，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更能促进他们的深度学习.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］