二次求导在高中数学函数解题中的应用

摘 要：导函数是研究高中函数问题的重要工具之一，在函数最值、恒成立、零点等问题的求解中几乎都能看到导函数的身影.针对部分高中数学习题，仅一次求导并不能使问题得以解决，需要通过二次求导研究导函数的增减性，确定导函数与0的关系，明确原函数的单调情况.笔者结合具体习题，讲解二次求导在解题中的应用，展示相关的应用细节.

关键词：高中数学；导数；二次求导；应用

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0047-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：余登飞（1984.8—），男，江苏省南京人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

对原函数求导可以得出导函数，二次求导则是对导函数的进一步求导.根据导函数值与0的关系可以判断原函数的增减性^[1].同理，分析二次求导后函数值与0的关系，可以确定导函数的增减性，能够进一步把握原函数增减的快慢，实现对原函数更为细致地刻画.高中函数问题情境复杂多变，通过二次求导，问题可以更为高效地解决.

1 求参数范围类情境

求参数范围是高中数学各类测试以及高考中出现频率较高的习题情境.解答该类问题通常转化为函数问题，借助函数单调性，确定参数的上限与下限.其中，针对五类基本初等函数可以直接运用性质进行分析；针对较为复杂以及抽象的函数，则需要通过求导、二次求导研究函数的单调性.

例1 已知函数f（x）=xe^2x-1，当x＞0时，f（x）≥mx+lnx，则m的取值范围为.

解析 根据题意，得xe^2x-1≥mx+lnx.

整理，得m≤xe^2x-lnx-1x.

令g（x）=xe^2x-lnx-1x，问题转化为当x＞0时，求g（x）的最小值.

则g′（x）=2x2e^2x+lnxx2.

令h（x）=2x2e^2x+lnx，则

h′（x）=4（x2+x）e^2x+1xgt;0.

则h（x）在（0，+∞）上单调递增.

由h（14）=e8-2ln2lt;0，h（12）=e2-ln2gt;0，则存在唯一x0使得2x20e^2x0+lnx0=0且x0∈（14，12）.

则g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（x0）=x0e^2x0-lnx0-1x0.

又由2x20e^2x0+lnx0=0，则

2x0e^2x0=-lnx0x0=1x0ln1x0=ln1x0e^ln1x0.

令φ（x）=xex，易得其在（x0，+∞）上单调递增.

则2x0=ln1x0.

即1x0=e^2x0.

则g（x0）=x0e^2x0-lnx0-1x0=2.

则m的取值范围为（-∞，2].

2 比较大小类情境

高中数学中比较大小类情境与函数的单调性密不可分，因此，确定函数、分析函数的单调性是解决该类问题的关键.解答该类问题需要具体问题具体分析，通过观察、变形，构造新函数，通过求导、二次求导确定原函数的单调区间，根据所给的参数，借助函数单调性加以解决^[2].

例2 若a=ln（sin19），b=-ln9，c=ln（-ln0.9），则（" ）.

A.c＜a＜b B.c＜b＜a

C.a＜b＜c D.a＜c＜b

解析 由对数运算法则可得b=-ln9=ln19，

c=ln（-ln0.9）=ln（ln109）.

令函数f（x）=sinx-x，则

f ′（x）=cosx-1≤0.

则f（x）在R上单调递减.

则sin19lt;19.

令函数g（x）=sinx-ln（x+1），x∈（0，π6），则

g′（x）=cosx-1x+1，

g″（x）=-sinx+1（x+1）2.

易得在x∈（0，π6）上g

″（x）单调递减.

由g″（0）=1gt;0，g″（π6）=-12+1（π/6+1）2lt;0，则存在x0使得g″（x0）=0，则g′（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π6）上单调递减.

又由g′（0）=0，g′（π6）=32-1π/6+1=32-6π+6gt;0，则在（0，π6）上g′（x）gt;0.

则g（x）在（0，π6）上单调递增.

则g（x）gt;g（0）=0.

则sinxgt;ln（x+1）.

当x=19时，sin19gt;ln（19+1）=ln109，

又由y=lnx在（0，+∞）上为增函数，则

ln（ln109）lt;ln（sin19）lt;ln19.

即c＜a＜b，故选A.

3 求值类情境

求值类情境在高中数学中较为常见，其中以函数为背景的求值类问题，解题思路千变万化，但是万变不离其宗.针对一些复杂的复合函数类情境应首先想到运用导数知识进行求解.当然，当一次求导后无法做出判断时，需要继续进行二次求导，确定原函数单调性.必要情况下，还需要画出原函数的大致图象，从图象视角进行隐含信息的挖掘，确定图象的关键位置和关键点.

例3 关于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥

ax+b+（x-2）2≥0在[1，+∞）上恒成立，则a=，b=.

解析 由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2≥0在[1，+∞）上恒成立，则

x2+x-xlnx-3≥ax+b≥-x2+4x-4.

令f（x）=x2+x-xlnx-3，

g（x）=-x2+4x-4，

再令h（x）=f（x）-g（x）=2x2-3x-xlnx+1，x≥1，

则h′（x）=4x-lnx-4.

又由h″（x）=4-1xgt;0恒成立，则h′（x）在

[1，+∞）上单调递增.

又由h′（x）≥h′（1）=0，则h（x）单调递增.

则h（x）≥h（1）=0.

即f（x）≥g（x），当且仅当x=1时两者相等.

又由f ′（x）=2x-lnx，g′（x）=-2x+4，则f ′（1）=g′（x）=2，则当y=ax+b为f（x）和g（x）的图象在x=1处的公切线时不等式恒成立，如图1.

由图1可知，切点为（1，-1），a=f ′（1）=2，则

y=2x+b，将点（1，-1）代入y=2x+b，解得b=-3.

4 最值类情境

高中数学中，最值类情境包括求最大值和最小值两种情况，难度不尽相同.解答该类情境需要具备扎实的功底，尤其对于复杂的函数，需要结合做题经验，大胆地构造新函数，具备应用一次求导、二次求导研究函数单调性的意识，结合题干情境以及推理过程，寻找解题的蛛丝马迹^[3].

例4 当x∈（0，π2）时，不等式ex-xcosx+cosxlncosx+ax2≥1恒成立，则实数a的最小整数为.

解析 由x∈（0，π2），易得exgt;0，cosxgt;0.

由ex-xcosx+cosxlncosx+ax2≥1恒成立.

整理得到lnexcosx≤excosx-1-ax2cosx恒成立.

令f（x）=lnx-x+1，x＞0，f ′（x）=1-xx，则当0＜x＜1时，f ′（x）gt;0，f（x）单调递增；当x＞1时，f ′（x）lt;0，f（x）单调递减，则f（x）max=f（1）=0，即

lnx≤x-1（x＞0）.

由excosxgt;0，则lnexcosx≤excosx-1.

则1-ax2cosx≤1恒成立.

则1-ax2≤cosx.

令g（x）=cosx-1+x22，x∈（0，π2），则g′（x）=x-sinx，g″（x）=-cosx+1gt;0恒成立.

则g′（x）在（0，π2）上单调递增.

则g′（x）gt;g′（x）min=g′（0）=0，则g（x）在（0，π2）上单调递增，所以g（x）gt;g（0）=0.

则cosxgt;1-x22，x∈（0，π2）.

则1-ax2≤1-x22.

由此可得a≥12，则实数a的最小整数为1.

5 结束语

综上所述，高中数学解题中的大多数习题，通过一次求导便可判断出原函数的单调性，这是求解一般的问题.而对于部分习题，通过一次求导仍不能对原函数的单调性做出清晰的判断，对此需要进行二次求导.借助二次求导解答习题的关键在于理解导函数求导表示的含义，尤其注重画出函数图象进行辅助分析，从而更好地理解题意，迅速找到解题的突破口.

参考文献：

［1］季斌.导数在高中数学解题中的运用[J].数理天地（高中版），2024（07）：57-58.

[2] 林翠.导数在高中数学解题中的应用：以导数求解函数为例[J].数理化解题研究，2024（09）：31-33.

[3] 马爱平.高中数学中导数解题策略及其教学方法探微[J].数学学习与研究，2023（27）：113-115.

［责任编辑：李 璟］