“不动点”原理在求数列通项公式中的应用

摘 要：文章利用“不动点”原理求各种形式的数列递推关系的通项公式，包括递推关系为一次函数型、分式函数型和二次函数型，为高中生提供一种可操作性极强的求解数列通项公式的方法.

关键词：数列；通项公式；不动点原理；应用

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0019-03

给定数列的递推关系求数列的通项公式是高考常考的题型.对于这类题，如果直接求解技巧性比较强，学生不易掌握；如果根据“不动点”原理来求解可操作性极强，学生容易掌握.

1 “不动点”原理

对于连续函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点.

利用“不动点”求一次函数型和分式函数型递推关系数列的通项公式，主要是基于如下两个定理.

定理1 若an=ban-1+c（n≥2），且b≠1，p是f（x）=bx+c的不动点，则有an-p=b（an-1-p）（n≥2）.

证明 因为p是f（x）的不动点，所以p=bp+c.

又an=ban-1+c，两式相减，得an-p=b（an-1-p）.

定理2 设ad-bc≠0，f（x）=ax+bcx+d.

（1）若函数f（x）有两个不动点p，q，则an=aan-1+bcan-1+d（n≥2）可化成an-pan-q=k·an-1-pan-1-q（n≥2）.

（2）若函数f（x）只有一个不动点p，则an=aan-1+bcan-1+d（n≥2）可化成1an-p=1an-1-p+k（n≥2）.

证明 因为

an-pan-q=（aan-1+b）/（can-1+d）-p（aan-1+b）/（can-1+d）-q

=（a-pc）an-1+（b-pd）（a-qc）an-1+（b-qd）

=a-pca-qc·an-1+（b-pd）/（a-pc）an-1+（b-qd）/（a-qc），

令p=-b-pda-pc，q=-b-qda-qc，

从而得p=ap+bcp+d， q=aq+bcq+d. ①

即an-pan-q=k·an-1-pan-1-q（n≥2）.

注 ①式表明p，q是f（x）的不动点.类似可证（2）.

2 递推关系为一次函数型

运用“不动点”原理求数列递推关系为一次函数型an+1=Aan+B的通项公式的步骤如下：

第一步，构造函数f（x）=Ax+B，并令f（x）=x，求出f（x）的不动点x0；

第二步，在递推公式an+1=Aan+B两端同时减去x0，化简使得左右两侧结构一致；

第三步，构造等比数列求通项公式.

例1 已知数列an满足a1=1，an+1=2an+2（n∈N*），则an=.

解析 求不动点.设f（x）=2x+2，令f（x）=x得2x+2=x，解得x=-2.

所以由题意可得an+1-（-2）=2an+2-（-2），即an+1+2=2（an+2）.

因为a1+2=3，所以an+2是首项为3，公比为2的等比数列，

从而an+2=3×2n-1，故an=3×2n-1-2.

点评 由递推公式找到对应的不动点方程，求出不动点，则可构造等比数列求数列的通项公式［1］.

3 递推关系为分式函数型

运用“不动点”原理求数列递推关系为分式函数型an+1=pan+qman+t的通项公式的步骤如下：

第一步，构造函数f（x）=px+qmx+t，并令f（x）=x，求出f（x）的不动点；

第二步，若f（x）有2个不动点，则用an+1=pan+qman+t两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可以产生优良结构，进而构造等比数列来求通项公式；若f（x）只有1个不动点，则用an+1=pan+qman+t两端减去该不动点，再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造等差数列求通项；若f（x）没有不动点，则在考题中，an往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式an+1=pan+qman+t求出前几项找规律即可.

例2 已知数列xn满足x1=2，xn+1=4xn+3xn+2，则数列xn的通项公式为.

解析 设g（x）=4x+3x+2，令g（x）=x可得

4x+3x+2=x，解得x=3或-1.

从而xn+1-3=4xn+3xn+2-3=xn-3xn+2.②

所以xn+1+1=4xn+3xn+2+1=5（xn+1）xn+2.③

用②式除以③式可得xn+1-3xn+1+1=15·xn-3xn+1.

又x1-3x1+1=-13，所以xn-3xn+1是首项为-13，公比为15的等比数列.

从而xn-3xn+1=-13×（15）n-1.

故xn=3-43×5n-1+1.

点评 运用“不动点”原理求递推关系为分式型数列，可顺利构造出等比型数列，求出通项公式.

例3 已知数列an满足a1=2，an+1=an-1an+2，则a2023=.

解析 设f（x）=x-1x+2，令f（x）=x得x-1x+2=x，化简得x2+x+1=0，显然该方程无解，这种情况下an一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可.

由题意，a1=2，所以a2=a1-1a1+2=14，a3=a2-1a2+2=-13，a4=a3-1a3+2=-45，a5=a4-1a4+2=-32，a6=a5-1a5+2=-5，a7=a6-1a6+2=2=a1.

从而an是以6为周期的周期数列.

故a2023=a337×6+1=a1=2.

点评 先求不动点方程，根据方程无解可知其是周期数列，再逐项计算根据周期求解即可.

例4 已知数列an满足an+1=-1an+2，a1=2，则an=.

解析 设f（x）=-1x+2，令f（x）=x，得-1x+2=x，解得x=-1.

所以an+1-（-1）=-1an+2-（-1）.

化简，得an+1+1=an+1an+2.

所以1an+1+1=an+2an+1=an+1+1an+1=1+1an+1.

从而1an+1+1-1an+1=1.

又1a1+1=13，所以1an+1是首项为13，公差为1的等差数列.

故1an+1=13+（n-1）×1=n-23.

所以an=5-3n3n-2.

点评 由递推公式找到对应的不动点方程，由于一元二次特征方程只有一个解，所以需要在

an+1=-1an+2的两边减去该不动点，再取倒数，从而可构造等差数列求解.

例5 方程f（x）=x的解称为函数f（x）的不动点，若f（x）=axx+2有唯一不动点，且数列an满足a1=12，1an+1=f（1an），则a2 018=.

解析 由题axx+2=x，化简，得x2+（2-a）x=0有唯一不动点，所以△=（2-a）2=0.

所以a=2.

所以f（x）=2xx+2.

所以1an+1=2×（1/an）（1/an）+2=21+2an=11/2+an.

所以an+1=12+an.

所以an+1-an=12.

所以an是首项为12，公差为12的等差数列.

所以a2 018=12+2 017×12=1 009.

例6 已知数列an满足a1=1，an+1=-an+1（n∈N*），则an=.

解析 设f（x）=-x+1，令f（x）=x，得-x+1=x，所以x=12.

从而an+1-12=-an+1-12.

所以an+1-12=-（an-12）.

因为a1-12=12，所以an-12是首项为12，公比为-1的等比数列.

故an=12×（-1）n-1+12［2］.

4 结束语

综上所述，根据数列递推关系求通项公式，这类题型主要考查根据递推关系结构，运用“不动点”原理求出不动点，进而构造出等差（等比）数列.这充分体现了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

参考文献：

［1］ 李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2022.

[2] 李鸿昌，徐章韬.用母函数理解组合问题[J].数学通讯，2023（10）：59-61，66.

［责任编辑：李 璟］