辅助函数与不等式的融合

摘 要：在不等式解题中，我们常常面对复杂的不等式无法一下解出，此时就可以引入辅助函数，利用函数的单调性进行解题.文章通过导数公式构造常见的四种辅助函数从而探究导数不等式的解题思路.

关键词：高中数学；导数公式；构造函数；导数不等式

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0013-03

函数单调性是我们学习函数的重要性质之一，它不仅可以显示出函数在区间内的运动趋势，还可以反映函数值的增减变化.本文的解题思路就是利用这一点，将原函数通过导数公式将题目条件构造成一个新函数的导数式，在新函数基础上求解不等式[1].这个新函数就是我们的辅助函数.

1 构造“幂函数”型辅助函数

构造函数可以从题目条件入手，寻找f（x）与f ′（x）有关的不等式，通过构造辅助函数使其导数式满足关系式，利用条件中的大小关系和函数单调性，找到与未知不等式有关的函数值进行解答.

例1 已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f ′（x），且满足xf ′（x）+2f（x）gt;0，则不等式（x+2 023）f（x+2 023）5lt;5f（5）x+2 023的解集为（" ）.

A.x|xgt;-2 018

B.x|xlt;-2 018

C.x|-2 018lt;xlt;0

D.x|-2 023lt;xlt;-2 018

解析 题目要求的不等式中数值都比较大，是否可以利用函数的单调性解题呢？如果

可以将不等式放在一个函数中，通过分析函数在不同区间内的单调性，从而找到符合不等式的区间达到解题目的，这就是我们构造函数解导数不等式的具体思路.但是如何构造这个全新的函数使得其能够在求导后满足题目条件呢？

此时我们可以从函数求导公式入手进行探究.题中条件有一个关于f（x）与f ′（x）的不等式xf ′（x）+2f（x）gt;0，其左边部分与求导公式类似，两个函数相乘求导时［f（x）g（x）］′=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x），所以我们需要分析什么形式的函数求导可满足这个关系式.这个需要构造的辅助函数为两个函数相乘，其中一个函数已知，是本题中的f（x）；另一个函数中既要有未知数x，求导中还需出现二倍关系，联想到二次函数，尝试构造F（x）=x2f（x），将其求导，F′（x）=2xf（x）+x2f ′（x），与题目已知条件类似，比较后发现，构造出的函数多乘一个未知数，但是这个构造函数一定是错误的吗？别忘记，题目中还规定了函数的定义域xgt;0，我们可以发现，在此时多乘一个未知数并不会影响题目的不等式条件，故此时条件变化为x2f ′（x）+2xf（x）gt;0，即F′（x）gt;0，故F（x）在（0，+∞）上单调递增.但是这个辅助函数与我们要求解的不等式有何联系呢？

可以先将题目要求不等式变换形式为（x+2 023）2f（x+2 023）lt;52f（5），此时可以看出这个不等式其实是

比较的大小函数值，即F（x+2 023）lt;F（5）.因为F（x）在（0，+∞）上单调递增，由单调性可知，0lt;x+2 023lt;5，解得-2 023lt;xlt;-2 018，故D选项正确.

2 构造“指数函数”型辅助函数

当题目中没有明显的函数提示条件，我们又该如何构造函数呢？

例2 定义在R上的函数f（x）的导函数为

f ′（x），若对任意x，有f（x）gt;f ′（x），且f（x）+2 023为奇函数，则不等式f（x）+2 023exlt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，0）""" B.（0，+∞）

C.（-∞，1e）D.（1e，+∞）

解析 题目条件中f（x）+2 023为奇函数，故我们可以根据奇函数性质推断f（x）的性质，奇函数在x=0处函数值为零，可得f（0）=-2 023.

但是我们又该如何构造函数呢？题目中出现了指数函数，我们是否可以构造一个与指数函数和f（x）有关的辅助函数，通过寻求这个新函数的单调性求解不等式呢？

先将不等式变形，因为指数函数在定义域内恒大于零，变形后我们发现f（x）exlt;-2 023.因为f（0）=-2 023，e0=1，所以构造F（x）=f（x）ex，通过探究这个新函数的单调性，寻找满足F（x）lt;F（0）的条件.

F′（x）=f ′（x）-f（x）ex，在定义域内exgt;0恒成立，题目中f（x）gt;f ′（x），所以F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上单调递减.由单调性可知，xgt;0，故B选项正确.

3 构造“三角函数”型辅助函数

题目条件均未出现明显趋势时，又该从哪里入手构造辅助函数呢？

例3 对任意的x∈（0，π2），不等式f（x）tanxlt;f ′（x）恒成立，则下列不等式错误的是（" ）.

A.f（π3）gt;2f（π4）" B.f（π3）gt;2f（1）cos1

C.2f（1）cos1gt;2f（π4）D.2f（π4）lt;3f（π6）

解析 题目中出现了三角函数，而选项中也有三角函数值的有关选项，那是否可以构造一个新的函数使得f（x）与cosx产生联系，从而根据函数单调性求解不同函数值之间的关系呢？

题目中选项有f（1）cos1，尝试构造新函数F（x）=f（x）cosx，则

F′（x）=-f（x）sinx+f ′（x）cosx.这个新函数会有具体的单调性吗？尝试变形不等式与导数式产生联系，因为x∈（0，π2），所以sinxgt;0，cosxgt;0，所以f（x）tanxlt;f ′（x）恒等变换为f（x）sinx-f ′（x）cosxlt;0.即F′（x）=-f（x）sinx+

f ′（x）cosxgt;0.故对于任意的x∈（0，π2），F（x）在区间内单调递增.

对于A选项中有两个f（x）的取值，那我们尝试将这两个取值代入新函数.

F（π3）=12f（π3），F（π4）=22f（π4），根据单调性，F（π4）lt;F（π3），所以12f（π3）gt;22f（π4），化简得f（π3）gt;2f（π4），故A选项正确.

那么，其余选项是否也可以利用新函数比较呢？

由单调性可知F（π6）lt;F（π4）lt;F（1）lt;F（π3）.

即f（π6）cosπ6lt;f（π4）cosπ4lt;f（1）cos1lt;f（π3）cosπ3.

所以32f（π6）lt;22f（π4）lt;f（1）cos1lt;12f（π3）.

即3f（π6）lt;2f（π4）lt;2f（1）cos1lt;f（π3）.

对比可知，只有D选项中不等式错误，故选D.

4 构造“对数函数”型辅助函数

所求不等式明显与辅助函数间存在差距，不能只利用辅助函数单调性，又该如何求解呢？

例4 已知f（x）是定义在R上的奇函数，f ′（x）为f（x）的导函数，f（12）≠0，且f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，则不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，-1）∪（0，12）∪（2，+∞）

B.（-1，0）∪（12，2）

C.（-1，0）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（0，2）

解析 不等式为二次函数与f（x）的乘积，我们是否可以探究出f（x）的单调性，再根据二次函数在不同区间内的变化得出解集呢？

题目中有一条件f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，我们是否可以与两函数相乘求出的导数式产生联系？故构造一个新函数F（x）=f（x）ln（2x），求导得F′（x）=

f ′（x）ln（2x）+f（x）x.由题意可知F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上单调递减，所以不等式的解集我们需要找到两个函数与零的大小.因为ln1=0，f（12）≠0，所以F（12）=f（12）ln（2×12）=0.所以在x∈（-∞，12），F（x）gt;0，x∈（12，+∞），F（x）lt;0.

又因为x∈（0，12）时，明显ln（2x）lt;0，当x∈（12，+∞），ln（2x）gt;0，所以在x∈（0，+∞）时，恒有f（x）lt;0，f（x）是定义在R上的奇函数，所以在

x∈（-∞，0）时，f（x）gt;0.

因为所求不等式为两个函数相乘，所以我们需要找到它们同时大于零或者小于零的部分.前面的二次函数x2-x-2，可以利用十字相乘法变形为（x-2）（x+1），所以当-1lt;xlt;2时，x2-x-2lt;0，当xlt;-1或xgt;2时，x2-x-2gt;0.

二者需要取交集，即x2-x-2gt;0，f（x）gt;0或x2-x-2lt;0，f（x）lt;0， 解得xlt;-1或0lt;xlt;2.

所以不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是

（-∞，-1）∪（0，2），故D选项正确.

5 结束语

解导数不等式时，我们通常会根据导数公式构造一个新的辅助函数，利用其函数式与所求不等式间存在的关系，从而探索辅助函数的单调性，得到不同取值下的函数值大小，从而求解.

参考文献：

［1］王勇.高中数学解题中构造函数的有效应用[J].数理化解题研究，2023（31）：50-52.

［责任编辑：李 璟］