妙用“三招”解答函数零点问题

函数零点问题的常见命题形式有：（1）求函数零点的大小或取值范围；（2）判断函数零点在某个区间内的个数.解答函数零点问题，需建立函数与不等式、方程之间的联系，灵活运用转化思想.下面结合实例，探究一下解答函数零点问题的三个“妙招”，供读者参考.

一、利用零点存在性定理

如果函数f（x）在区间[a，b]上是连续的，并且f（a）·f（b）lt;0，那么函数f（x）在该区间上有零点，该定理被称为零点存在性定理.运用零点存在性定理求解函数零点问题，需先判断出函数在区间上的单调性，然后判断区间端点处函数值的乘积是否小于0.

例1.函数f（x）=log3x+x-3的零点所在的区间为（）.

A.（0，1）B.（0，2）C.（2，3）D.（3，4）

解：由f（x）=log3x+x-3可知函数的定义域为（0，+∞），而y=log3x在（0，+∞）上单调递增，y=x-3在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增.

而f（2）=log32-1lt;0，f（3）=log33+3-3=1gt;0，则f（2）∙f（3）lt;0，由零点存在性定理可知函数f（x）在（2，3）上有零点，故选C.

运用零点存在性定理解题，只需将区间的端点处的函数值代入函数的解析式中，判断其积是否小于0即可.值得注意的是，根据零点存在性定理，只能判断出函数在某个区间上是否有零点，无法确定零点的个数.

二、运用数形结合思想

数形结合思想是解答函数零点问题的重要思想.在解答函数零点问题时，我们需根据函数零点的定义，将问题转化为函数图象与x轴的交点，或两个图象之间的交点问题来求解.画出函数的图象，研究其与x轴的交点，或两个图象之间的交点，即可获解.

例2.

解

运用数形结合思想解题的关键在于画出函数的图象，明确函数的变化趋势、最值点，以便通过直观的方式找出交点，快速获得问题的答案.

三、利用函数的周期性

对于具有周期性的函数，往往需先令函数为0，求得函数在一个周期内的零点或取值范围；然后根据函数的周期性求得函数在其他周期内的零点或取值范围.

例3.已知函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且f（1）=f（3）=0，求函数f（x）在区间[-2013，2013]上零点的个数.

解：

运用函数的周期性解题，需先根据周期性的定义：f（x）=f（x+T）判断出函数的周期T；然后研究函数在一个周期内的零点，即可根据函数的周期性顺利解题.

可见，解答函数零点问题，需灵活运用数形结合思想、转化思想、方程思想、分类讨论思想等.同学们要熟练掌握这些常用的数学思想，将其灵活地应用于解题中.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）