问题启智，素养立意，从“分散”向“整合”建构

【摘要】基于真实情境的问题设计是跨学科主题学习的起点，面对复杂多样的问题情境，教师尝试将抽象的数学知识转化为具体的任务加以解决，通过设计系列跨学科探究问题，引导学生经历体验问题、提炼问题、分析问题、解决问题的全过程，尝试从“割裂分散”走向“整合建构”，以提升能力，发展素养.

【关键词】情境教学；初中数学；将军饮马

《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布以来，跨学科学习已经成为实现新课改目标的重要途径，初中数学跨学科是指打破学科的界限，将不同学科融合在一起的探究式学习活动，其优势主要在于在多门学科知识之间交叉，综合不同学科的知识解决同一个问题，打破单一学科的局限性.

理解新课标提出的跨学科学习，应立足于本学科而跨出本学科的视角，尝试设计具备跨学科整合的问题情境，引导学生在立足本学科解决实际问题的过程中，整合并内化知识与规律，通过设计融合不同学科知识的系列探究活动，构建学科内部知识间的纵向关联、学科间知识的横向拓展，形成跨学科知识间的网状结构.

基于真实情境的问题设计是跨学科主题学习的起点，面对复杂多样的问题情境，教师尝试将抽象的数学知识转化为具体的任务加以解决[1]；通过设计系列跨学科探究问题，引导学生经历体验问题、提炼问题、分析问题、解决问题的全过程，尝试从“割裂分散”走向“整合建构”，提升能力，发展素养.本文尝试通过设计核心问题串，以问题为载体开展初中数学跨学科项目式学习，此文以苏科版八年级（上）“将军饮马”为课例，谈谈一些实践体会，请同行批评指正.

1 案例片段：“将军饮马”

1.1 聆听故事，导入情境

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去军营开会，应该怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为将军饮马的问题便流传至今.

1.2 问题导学，联想发散

（1）平面镜成像（如图1），反射角与入射角有什么关系？

（2）物像关于平面镜有怎样的位置关系（如图2）？人眼是怎样看平面镜中的像的？你能画出它的几何图形吗？

1.3 建模构图，整合方法

（1）一位将军骑马从军营A出发（如图3），先到河边（直线l）让马喝水，然后再返回同岸B处的家.此时，该如何选择路线，能让将军经过的路程最短？

（2）将军骑马从军营A出发（如图4），先到河边（直线l）让马喝水，然后到草原边缘（直线m）让马吃草，最后回到军营A.此时该如何选择路线，让将军经过的路程最短？

（3）将军骑马从军营A出发（如图5），先到河边（直线l）让马喝水，然后到草原边缘（直线m）让马吃草，再回一次B处所在的家，最后回到军营A，此时该如何选择路线让将军经过的路程最短呢？

1.4 沉淀思维，变式拓展

（1）如图6，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求线段BM+MN的最小值.

（2）如图7，将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修建浮桥，可使将军每日的行程最短？

2 剖析案例，解释说明

2.1 质疑诊断，探求本质

（1）数学探究在于数学问题→抽象→建模→求解→领悟.跨学科教学设计要明确课堂的核心问题是什么？通过问题串设计明确解决此类问题运用什么基本方法？如何寻找适合的跨学科知识联结点？

（2）本案例应用物理现象引入问题情境，数学问题驱动学生思考的过程中，是否关注数学思维训练过程的正迁移和创新性？

（3）设计怎样的学习探究过程可引导学生经历知识的产生和发展过程？如何设计数学实验能更有效地帮助学生积累数学活动经验？

（4）如何实施以“知识建构”为核心的素养培养？如何实现学习领域从书本拓展向生活？

2.2 深度理解，应用迁移

2.2.1 关联的问题，内化知识结构

由理解平面镜成像问题，再联想“将军饮马”几何模型，联结知识点，抽象成一个点和一条直线的位置关系，核心问题就是用轴对称知识解决路径最短问题，基本方法就是利用平面镜成像原理把路径转化为最短线段.

2.2.2 类比迁移，创新问题

跨学科探究最终回到数学问题，核心问题引领下的探究过程如抽丝剥茧，层层深入，围绕“将军饮马”数学原理展开分类讨论、以数学建模为探究入口，研究讨论新问题.

2.2.3 拓展抽象结构，综合思维方法

后续的问题设计尝试了逆向思维，再由已知将军骑马路径最值去研究点的特殊位置，从问题的发现、提出、解决全过程都增强开放性，引导学生从不同角度思考解决问题的方案.

本案例中，建立轴对称几何模型有助于建构多学科知识点间的联系，从整体上认识相关物理概念规律，进而形成“最小路径”概念.跨学科整合训练思维的综合化是跨学科教学的精髓，依托核心问题引领，启发引导学生的学习由发现式向发展式转变，发展学生的关键能力和核心素养.

3 创建驱动性问题，经历探究过程

3.1 核心问题，创新思维

建立以“解决问题－发现问题”为核心的初中数学跨学科探究路径.好问题是数学思维的心脏，发展学生的思维是跨学科教学的主题，也是数学育人的真谛；设计好问题要关注学生是否学会探究，学会思考，学会解决问题，并通过问题解决，使学生领悟数学的研究方法，养成数学的思维方式.

3.2 问题启智，优化策略

本案例的核心问题设计具有挑战性；寻求特殊点的位置问题充分调动了学生学习主体的作用，通过建模转化方式引导学生运用观察、实验、猜想、运算、推理、验证、数据分析、直观想象等发现和提出问题、分析问题和解决问题.跨学科各科知识点的融合使学习过程更完整化，学生完整地经历了知识的发生、发展的过程.

3.3 探究思维路径，明晰问题本质

借鉴探究思维路径聚焦跨学科理解的问题解决程度，探索科学的思维路径，在理论与实践的结合中变革学习方式，摸索出基于本学科的课程综合化学习.

4 聚焦问题设计，提升问题品质

4.1 目标导向，逻辑闭环

本案例设计中的问题都有明确的指向，学生在跨学科探究活动过程中，方法多元、任务达成程度各异，明确问题引导学生深度思考，学习目标始于轴对称知识的联想回顾，建立最短距离模型.例如在平面内寻求特殊的动点位置，其探究结果可能会体现出殊途同归的意蕴，所以问题设计力求整体任务明确且具有较强的逻辑性、现实性.

4.2 细化问题设置，明确探究步骤

本案例设计所涉及的问题即为平面镜的入射和反射光线物理现象，常见的生活现象成为学生理解数学问题的背景，如生活现象探究范围过广会增加学生在解决数学问题时的认知负荷，一些思维较为发散的学生容易因为数学问题中与学习任务无关的内容而思维走偏，通常选择日常生活中的小切口问题，贴近学生的生活经验，容量适当；来一个多学科综合的“大题小做”，激活学生思维.

4.3 问题驱动数学化思考，发展数学素养

本案例设计的问题难度符合学生的认知水平，对于大部分孩子而言具有一定的挑战性，跨学科主题学习可能涉及了数学、物理、科技等几个学科的问题，其重点是引导学生以数学的眼光去观察世界，进行“数学化”思考，设计的建模问题由探求动点与直线位置关系的一条直线、两条相交直线、三角形、两条平行直线有序展开，循序渐进，问题串的具备情境、障碍、目标、方法等要素，提升了学生的思维能力，发展了学生的数学核心素养.

4.4 主体参与，学会学习，提出新问题

新课标在“综合与实践”领域中倡导采用主题学习形式，跨学科主题学习获取知识主要靠学生自发地研究性学习活动，教师不需要阐释“是什么？”“为什么？”“怎么了？”等问题，教师应转变角色，尝试成为问题的设计者、研究活动的组织者或参与者、探究规则的制定者、问题解决的指导者、成果展示的欣赏者，引导学生自主参与，发现问题，提出新问题，让他们经历解决问题过程中的失败与挫折，积累活动经验，归纳总结解决新问题的方法与策略.

5 结语

跨学科学习旨在让学生学会运用相关联学科的研究和学习方法去分析问题、解决问题，所以如何设计好问题、如何运用问题去归纳方法和训练思维是重点研究的内容.从知识领域上看，新课标最显著的变化就是重点强化了数学实践综合学习，它包括跨学科学习、数学建模与数学实验探究活动等，教师要对教学内容精准取舍，科学设计，依据教学目标，聚焦重点内容，通过问题的有效组合，打开核心问题的边界，增强学生解决问题的能力，科学应用跨学科模式，促进学生综合能力的发展，全面提升学生的综合素质.

参考文献：

[1]程晓亮，左瀚文，林殿吉.初中数学跨学科主题学习的设计与实施[J].教学与管理，2024（04）：39-42.