倍半角模型的解读与应用教学

【摘要】在倍半角模型的教学过程中，建议按照“模型解读—解题指导”的思路来设计.“模型解读”从等腰三角形特性出发，梳理建模策略；“解题指导”要注意精选典型问题，突出模型构建过程，引导学生整合条件构建思路.

【关键词】倍半角模型；建模思想；辅助线；角度关系

1 引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.知道数学建模是数学与现实联系的基本途径，初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义”.倍半角模型是初中几何解题过程中常见的内容，教学中需要重点讲解，建议梳理知识内容，构建几何模型，结合实例开展应用探究.考虑到倍半角模型与等腰三角形有着紧密的关联，模型解读时可以从等腰三角形的性质出发，探索作辅助线构建模型的策略，引导学生逐步探究，构建模型的知识体系.

2 模型解读

2.1 知识背景

等腰三角形中实际隐含了“倍半角”的知识点，教学中可结合具体图示讲解其中的角度关系.如图1所示的等腰△ABC中，有AB=AC，则∠CAD=2∠B.

2.2 特殊半角讲解

几何中常见一些特殊的半角，如15°角，22.5°角，边长比值为“3∶4∶5”的角，教学中可以引导学生利用倍半角模型来梳理特殊角的计算思路，下面以构造15°角为例具体讲解如何求tan75°的值.

求解思路：如图2所示，作图构建.

第一步，构造一个含有30°角的Rt△ABC，设BC=1，AC=3， 则AB=2；

第二步，延长CA至点D，使AD=AB，则AD=2，连接BD，构造出等腰△ABD.

计算方法：分析可知∠D=12∠BAC=15°，则∠CBD=75°，故在Rt△DBC中，有tan75°=tan∠DBC=CDBC=2+31=2+3.

通过此思路可以解决67.5°角和其他特殊直角三角形中存在的倍半角模型的相关习题，教学中注意引导学生作辅助线，拓展学生的思维.比如已知tanα=34，如何求tan2α和tanα2.

解析指导如图3所示，可以构造Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，∠BAC=α，则tanα=34.可通过作AB的垂直平分线交AC于D，连接BD，则BD=AD，则∠BDC=2α. 设CD=x，则BD=AD=4－x，在Rt△BCD中，由勾股定理可得：x2+32=（4－x）2，解得x=78，所以CD=x=78. 在Rt△BCD中，所以 tan2α=BCCD=3÷78=247.如图4所示，延长CA至E使AE=AB，连接BE，则AE=AB=5，∠BAC=2∠E，所以CE=9，∠E=12∠BAC=12α. 在Rt△BCE中，tanα2=BCCE=39=13.

2.3 模型建立

关于等腰三角形的倍半角模型，存在两种情形，即半角向外构等腰，倍角向内构等腰.教学中建议分类构建模型，讲解模型特点，通过观察、探究、推理，总结得出性质结论.

2.3.1 向外构造等腰，得“半”角

如图5所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，∠BAC=θ，若求θ2的三角函数值.可在直角三角形的外部构造等腰三角形，形成倍半角模型，则∠BDC=θ2.同时，在直角三角形中，tanθ=ab，则可以推得tanθ2=ab+c.

解题思路 在已知“倍角”求“半角”的情形中，则可以将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，实现“等腰现，半角出”.

2.3.2 向内构造等腰得到“倍”角

如图6所示，可视为是在直角三角形的内部构造等腰三角形，即在直角三角形的直角边上取点（作斜边的垂直平分线即可），形成倍半角模型.对于内部的直角三角形，若设出直角边为x，则利用勾股定理构造方程，即可解出x，进一步可求出tanθ.

解题思路 在已知“半角”求“倍角”的情形中，则可以作该半角所在的直角三角形的斜边的垂直平分线与相应的直角边相交即可得到交点，构造等腰三角形即可实现“等腰现，倍角出”.

3 解题指导

例1 如图7所示，在△ABC中，已知AC=11，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD=8，则BC= .

解析指导 本题目的核心条件——∠A=2∠CBE，显然存在倍半角关系，解析突破时可以考虑构建倍半角模型来转化.

如图8，延长BD到点F，使得DF=BD，再过点C作CH∥AB，交BF于点H，如图8的虚线所示，显然构建了倍半角模型.分析可知直线CD是线段BF的垂直平分线，则可得BC=CF，△BCF为等腰三角形.同时可得出∠ABE=∠CHD=2∠CBD=2∠F，所以∠EBC=∠F，故HF=HC.结合两直线平行和等腰三角形的性质可进一步求得EH=EC，又因EA=EB，则BE+EH=AE+EC，即BH=AC，则可求出DH=BH－BD=AC－BD=3，HF=HC=5.

在Rt△CDH中，利用勾股定理可求得CD=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可求得BC=45.

解后思考 上述在求解线段长时，采用构建倍半角模型的策略，利用模型特性来串联转化条件.实际应用中需要指导学生关注两点：一是关注倍半角的条件，提取角度所在图形；二是分析图形结构，合理选取构造倍半角模型的策略.

4 总结

关于倍半角模型的指导教学，建议参考上述思路设计，从等腰三角形的性质出发，探索模型构造的两种思路，生成对应建模策略，后续再结合实例开展解题指导，拓宽学生的解题视野.教学过程中注意合理渗透建模思想，引导学生掌握建模方法，感悟其思想内涵，提升学生的解决问题的能力，发展几何直观、推理能力、运算能力、模型观念和应用意识等核心素养.