初中数学问题导向学习与问题链设计

【摘要】数形结合是初中数学重要的思想之一，特别是解答代数与几何的融合性问题时，数形结合思想是非常重要的解题工具.本文根据初中备考复习情况，以问题为导向，以问题链的形式设计“数形结合”专题复习教学.

【关键词】数形结合；初中数学；教学设计

数形结合往往是借助图形解决数的问题，但是“数缺形时少直观，形少数时难入微”.初中数学分为几何与代数，而连接这两大版块的主要桥梁就是数形结合.很多地方都少不了数形结合思想，如一元二次函数与一元二次方程问题、对称问题、动点几何图形的面积问题等.可见数形结合的重要性，由此在中考备考复习时，应重视“数形结合”专题复习.本文根据学生情况，设计以问题为导向的教学，利用问题链由简到繁、循序渐进，以培养学生的数形结合思维能力.

1 数形结合的认识

数形结合是一种解题技巧，是一种思维方式，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实质是直观想象的一种表现形式.应用过程实质是数与形之间的转化，所以具体有两个方面的应用：一是以数来解形的问题，如已知三角形的三个顶点坐标，求点的对称求最值问题；二是以形代数来解决问题，如解形如x－2－x+3=6的方程.

2 教学过程设计片段

根据对数形结合的分析和认识，接下来分“以数解形”和“以形代数”两个项目进行，以问题为导向，利用问题链循序渐进地突破数形结合的应用问题.

2.1 以数解形——探究对称最值问题

问题1 如图1所示，已知直角坐标系中，点A1，3，点B与点A关于x轴对称，求点B的坐标.

师生活动 教师组织学生通过已知图形，或者借助图形寻找数的关系.如问题1中，点B与点A关于x轴对称，通过图形观察发现：两个点处于同一纵向水平线上，且两点与x轴的距离一样，则设Bx，y，得x=1，y=－3.

问题2 在问题1的基础上，在x轴上求一点Q，使AQ+BQ的值最小.

师生活动 组织学生探究，结合三角形形成条件，如图2所示，点Q在x轴上左右变动，当A，Q，B三点共线时，AQ+BQ的值最小，为AB.

问题3 如图3，已知在直角坐标系中，M2，4，N－1，3，式在x轴上求一点P，使MP+NP的值最小.

师生活动 问题3是在问题1和问题2的基础上进行设计，该问题完全由学生解答，然后选取部分学生的解答进行展示.

设计意图 前提条件是本节课是专题复习，所以问题均是以实际题目为主，以问题为导向，第二个问题是在第一个问题基础之上，问题3是进一步巩固.该项目的学习，体现了根据数来解决对称问题，一方面Ax1，y1与Bx2，y2关于x轴对称，则x1=x2y1=－y2；另一方面两条线段之和最小，则三点共线，转化为两点间的距离.

2.2 以形代数——绝对值方程解法探究

问题4 解方程x－1=5.

师生活动 由学生自行解决，该题目学生一般会解，解法有两种：一是直接去绝对值符号；二是借助数轴，如图4，利用数轴确定绝对值里面式子的符号，再去绝对值.为了和后面问题衔接，引导学生采用第二种方法.

问题5 解方程x－1－x+2=1.

师生活动 引导学生进行探究，利用数轴（如图5）确定x－1和x+2的符号，然后根据符号去绝对值，从而解出方程的根.

设计意图 该项目是从解方程x－1=5到解方程x－1－x+2=1，问题紧扣，利用解方程x－1=5引导学生学会利用数轴确定绝对值符号，去绝对值，从而引出两个绝对值的方程解法探究.以问题为导向，以突破绝对值方程解法，体现以形代数.

3 教学评价

例题 解方程x－12－x+22=1.

解析 因为x－12－x+22=1，

去根号得x－1－x+2=1.如图6所示，

当x<－2时，x－1<0，x+2<0，

所以－x－1+x+2=1，即3=1无解；

当－2≤x<1时，x－1<0，x+2≥0，

所以－x－1－x+2=5，

即－2x=2，解得x=－1；

当x≥1时，x－1≥0，x+2>0，

所以x－1－x+2=1，即－3=1无解.

综上所述，方程x－12－x+22=1的解为x=－1.

评注 该题是在问题5的基础上，将绝对值变为了根号，去根号后增加绝对值，和问题5一样.

4 结语

本文针对数形结合专题复习的教学进行设计，把数形结合思想分成两个方面：一是“以数解形”，具体放在对称求最值的问题情境当中；二是“以形代数”，具体放在解决含绝对值的分成问题情境中.以问题为导向进行学习，根据实际情况，设置的问题一环扣一环，由易到难、循序渐进进行教学.值得说明的是，一是文章不是完整的教学设计，只是针对核心部分，对体现问题导向和问题链的教学过程进行了展示；二是本节课是对数形结合的专题复习，学生是在已有知识基础的前提下，深入探究数形思想，所以问题的设置都是以实际题目进行.

【本文系2023年度广州市教研院深度教学专项课题研究成果，课题编号：2023sdjx25】

参考文献：

［1］李春成.基于问题导向的初中数学高效课堂的构建[J].数理天地（初中版），2024（13）：74-76.

［2］徐莉.巧设问题链优化初中数学复习课教学策略研究[J].数理天地（初中版），2024（1）：88-90.

［3］徐丽荣.基于数学核心素养的初中数形结合教学研究[D].聊城：聊城大学，2020.

［4］修仰尚.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2024（11）：2-4.

［5］柯丽香.以项目化学习为核心的初中数学大单元教学模式探究[C]∥.教育创新发展研究论坛论文集，2023：1-5.