线段和差问题的处理技巧探究

【摘要】线段和差问题有“和差关系”和“和差最值”两种类型，问题解析需要采用相应的处理技巧，对线段进行转化.对于和差关系问题，可以采用全等构造代换、截长补短转化；而和差最值问题则可以通过对称转化处理.本文具体探究三种处理技巧，并结合实例深入剖析.

【关键词】线段和差；初中数学；解题技巧

线段和差问题在初中数学中十分常见，包含“和差关系”和“和差最值”两类.问题解析需要处理其中的“和差”，常见的有利用全等特性等量代换、截长补短线段转化，以及对称转换共线分析，其中前两种方法适用于和差关系问题，后者则适用于和差最值问题.下面具体探究.

技巧1 全等构造+等量代换

利用全等三角形等量代换处理线段和差关系，核心是全等三角形的性质的应用，基本思路是借助全等三角形的等线段性质，将和差关系问题转化为证明两线段相等的问题.解析时提取或构建全等模型，将分散的线段转化到同一直线上.

例1 如图1所示，点D是△ABC底边BC上的一点，以AD为一边作等边△ADE，再连接CE，试证明AC=CD+CE.

方法分析 本题目以三角形为背景证明线段和差关系，可以采用全等构造的方式来等量代换，将线段CD，CE和AC转换到同一直线上，进而完成证明.

解析 根据题设可知△ABC和△ADE均为等边三角形，可推知AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

所以∠BAD＝∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

可证△ABD≌△ACE（SAS），

由全等性质可得BD=CE，

所以CE+CD＝BD+CD＝BC＝AC，证毕.

评析 全等代换是处理线段和差关系问题的重要方法策略，解析时一般分为两步：第一步，构建或提取全等模型；第二步，利用全等性质将所涉及线段转换到同一直线上，完成线段关系证明.教学探究时，建议引导学生把握突破思路，总结全等模型的构造技巧.

技巧2 截长补短+线段转化

通过线段的截长补短处理线段和差问题，即解题时在图形中进行线段延长和截取构造，从而实现线段的等量转化.通常有两种方式：一是截长，在长线段中截取一段与另两条中的一条相等；二是补短，将一条短线段延长，使得与另一短线段相等.

例2 如图2所示，点B是⊙O上的一点，已知∠ABC=120°，弦AC=23，弦BM平分∠ABC，与AC的交点为点D，再连接MA和MC，回答下列问题.

（1）试求⊙O的半径长；

（2）证明AB+BC=BM.

分析 本题目以圆为背景，第（2）问证明线段和差关系，可以采用截长补短线段转化的方法策略.在线段BM上截取短线段，后续利用几何性质分析来完成转化证明.

解析 （1）简证，借助三角函数来证明线段OA长，即OA=2.

（2）证明 在BM上截取BE=BC，再连接CE，如右图2的虚线所示.

利用角度分析，可证△EBC为等边三角形，

则∠BCD+∠DCE=60°.

因为∠ACM=∠ABM=12∠ABC=60°，

所以∠ECM=∠DCE=60°，进一步可推知∠ECM=∠BCD.

而∠ABM=∠CBM=60°，

则∠CAM=∠CBM=60°，

∠ACM=∠ABM=60°，可证△ACM为等边三角形，

则AC=CM，进一步可证△ACB≌△MCE，

可得AB=ME，

结合ME=EB=BM，可证AB+BC=BM.

评析 截长补短证明线段和差关系，其核心知识是几何构造转化，通过“截取”“延长”的方式实现等线段构建.上述问题借助了“截取”的方式，在长线段上截取短线段，再通过特殊图形提取，全等性质完成证明.教学探究时，指导学生理解“截长补短”方法策略的具体含义，再结合问题进行技巧指导，让学生根据题设条件灵活使用.

技巧3 对称转化+共线定理

对于线段和差最值问题，可以采用对称转化的策略，即作关键点关于直线的对称点，利用对称性质进行等线段转化，将不共线的线段串联起来，再利用“共线定理”分析最值.实际上该技巧思路是“将军饮马”的体现.

例3 如图3所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）和C（0，-3）三点，M为抛物线的顶点，试回答下列问题.

（1）试求抛物线的解析式；

（2）试在该抛物线的对称轴上找到一点P，使得PA+PC的值最小，并求出点P的坐标.

分析 本题目以抛物线为背景，第（2）问探究线段和的最值，属于线段最值问题.建议采用对称转化的策略，利用对称性质将线段串联，再借助共线性质来求解最值.

（1）利用待定系数法求解析式，根据抛物线经过的点，可设其解析式为y＝a（x+1）（x-3），再将点C代入解析式中，可解得a=1，所以抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.

（2）利用“对称转化+共线定理”来求解线段和最值.

抛物线的对称轴为直线x=1，点A和点B关于该直线对称，连接BC，与直线x=1的直线交于点P，由对称特性可知PA=PB，则PA+PC=PB+PC，显然当点P，B，C共线时，取得最小值，且最小值就为BC的长，根据点B和C的坐标，可求得BC=32.

利用点B和点C来求直线BC的解析式，设解析式为y＝mx+n，

代入点坐标，则有3k+b=0b=－3，

可解得k=1b=－3，所以直线BC的解析式为y＝x-3，

当x=1时满足条件，此时点P的坐标为（1，-2）.

评析 “对称转化+共线定理”是求解线段和差最值的常用策略，核心知识是对称特性和“两点之间，线段最短”.上述求解线段和最值时，首先通过对称转化串联两线段，再结合共线特性确定点P位置.探究教学中，建议指导学生明晰方法策略的知识核心，再梳理解法步骤.

结语

本文探究了线段和差问题的处理策略，涉及了线段和差关系和最值两类问题、三种方法.几何构造、化归转化是该类问题破解的常见思想，探究解析时需要注意引导学生总结核心知识，明晰解题思想，在此基础上梳理方法策略.解题过程指导时，建议指导学生按照“读题审题，方法分析，过程指导，解后反思”的流程进行，帮助学生积累方法应用经验.