二次根式型代数式的求解策略

【摘要】 二次根式型代数式的求值问题需要讲究一定的方法与技巧，本文结合几则例题，探讨二次根式型代数式求值问题的策略，以帮助学生突破难点，发展学生思维.

【关键词】二次根式；初中数学；解题方法

代数式的求值问题是有一定技巧的，二次根式型代数式的求值问题更需要讲究一定的方法与技巧.二次根式型代数式的求解问题，一般有哪些方法呢？

1 配方法

平方与开方，是两个可逆的运算，因此通过配方可以达到开方的目的.

例1 已知x=12－1，

试求代数式2x2－4x+3的值.

解析 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

所以2x2－4x+3＝2（x－1）2+1＝2（2）2+1=5.

点评 若不配方直接代入，也可以算出结果，但计算量较大，因而容易出错.其实x=2+1与x=2－1是方程x2－22x+1=0的两个根.如果要求2x2－42x+3的值，该如何求呢？大家不妨一试.

2 平方法

平方的目的是去根号，从而把无理式转化为有理式问题进行求解.

例2 已知x=12－1，求代数式3－2x2+4xx2－2x+4的值.

解 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

两边平方，得（x－1）2=2，

所以x2－2x=1，

所以3－2x2+4xx2－2x+4=3－2（x2－2x）（x2－2x）+4=3－21+4=15.

点评 当所求表达式中含有未知数的平方时，这种方法往往十分有效.

3 凑零法

所谓凑零法，就是把已知条件通过平方变形为一个左边为整式右边为零的整式，再将所求的式子变成含有这个整式的式子.

例3 已知x=23－1，

求代数式3x2－6x+15的值.

解 因为x=23－1，

所以x=3+1，即x－1＝3，

所以x2－2x－4=0，

所以3x2－6x+15

＝3（x2－2x－4）+27=33.

点评 这种“凑零代换”的方法其实就是整体代换，从而有效地避免了根式运算.

4 倒数法

将已知条件取倒数后，再把欲求代数式变成只含已知条件的变形式的形式，最后整体代换，也可以使运算简化.

例4 已知x=12－1，

求代数式xx2+3x+1的值.

解析 因为x=12－1=2+1，

所以1x=2－1，

所以x+1x=22.

所以xx2+3x+1=1x+1x+3

=122+3=3－22=2－1.

点评 从本题的解答可以看出，将已知条件变形，也是为了整体代换，达到减少计算量的目的.

5 利用对称性

当已知条件给出的两个根式具有对称性时，可先求它们的和与积，然后将欲求的代数式变形成只含它们的和与积的形式，从而代入求解.

例5 已知a=2－12+1，b=2+12－1，求a2+4ab+b2的值.

解析 因为a=2－12+1，b=26fQiFVNb/9bXZ4I4z8+lAQ==+12－1，

所以a+b＝6，ab＝1.

所以a2+4ab+b2=（a+b）2+2ab=36+2=38.

点评 这类问题中已知条件一般有两个代表无理数的字母，且它们互为倒数，而所要求的表达式是关于这两个字母的轮换式.

6 分类讨论法

当根式能直接开出来但无法确定正负时，需分来讨论.

例6 已知|x－1|=3，求x2－6x+9+9x2－6x+1的值.

解析 因为|x－1|=3，

所以x－1＝±3，

即x＝1+3或x＝1－3.

又x2－6x+9+9x2－6x+1

＝（x－3）2+（3x－1）2

＝|x－3|+|3x－1|，

所以，当x＝1+3时，

原式＝3－x+3x－1＝2x－2＝23；

当x＝1－3时，

原式＝3－x+1－3x=4（1－x）=43.

点评 本题由于x有两个值，故代入根式运算时必须分类讨论，同时还需注意根式的非负性.

7 利用二次根式的非负性

利用被开方数的非负性，有时可以夹逼出未知数的值，看似有无数解的方程，其实只有1解或几解.

例7 已知x，y为实数，

y＝x2－9+9－x2x+3+2，

求代数式2x－4y+11的值.

解析 因为x、y为实数，

y＝x2－9+9－x2x+3+1，

所以有x2-9≥09-x2≥0x+3≠0，

解得x＝3，

所以y＝2.

当x＝3，y＝2时，

2x－4y+11=2×3－4×2+11=3.

点评 这类求值问题看似x，y未知，但利用二次根式的非负性，就可求出它们的值.

8 结语

从以上七种方法可以看出，求解二次根式型代数式问题，关键是学会变形，利用根式运算，利用分式性质，将已知条件等价变形，同时将所求代数式化简或变形成满足已知条件的形式，这类问题没有统一的解题模式，只有分析题目特征，才可“对症下药”.

参考文献：

[1]田载今.特殊的代数式——二次根式[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2017（Z1）：50-52.

[2]张宁.含复合二次根式的代数式的化简问题[J].初中数学教与学，2016（21）：11-13.

[3]左加亭.二次根式中考新题型归纳[J].第二课堂（B），2016（07）：21-22.