数学思想方法在初中数学解题中的运用

【摘要】在初中阶段，学生开始接触更加抽象和复杂的数学概念，这对于他们的数学思维能力和解题能力提出了挑战.数学思想方法是指在解决数学问题时所运用的思维方式和策略.通过研究数学思想方法在初中数学解题中的应用，可以深入了解学生在解题过程中的思维模式和策略选择，从而帮助他们更好地理解数学知识，提高解题效率和准确性.

【关键词】数学思想；初中数学；解题方法

研究数学思想方法在初中数学解题中的应用可以为教学实践提供重要参考，教师可以根据研究成果调整教学方法，引导学生培养正确的数学思维方式，从而提升他们的数学学习成绩和解题能力[1].

1 数形结合思想

数形结合思想是指将数学中的抽象概念与几何图形相结合，通过图形直观地展示数学问题，从而帮助学生更好地理解和解决问题[2].这种方法可以激发学生的想象力和创造力，使数学问题更具有趣味性和可视化特点[3].

例1 汽车鸣笛以后以15m/s的速度向远离高山的方向驶去，司机在鸣笛2s以后听到了鸣笛的回声，此时汽车到高山的距离有多远？

解 假设汽车鸣笛时的位置为点B，高山的位置为点A，汽车行驶的终点为点C.汽车行驶的路线是BC，声音传播的路线是BA和AC.

汽车行驶的速度为15m/s，行驶了2秒，因此汽车行驶的距离BC=15×2=30m，

声音传播的距离为从B到A的距离和从A到C的距离之和，

即BA+AC=BA+AB+BC=340×2=680m，

因为BC=30m，

所以AB=（680－30）÷2=325m，

所以AC=AB+BC=325+30=355m.

因此，汽车到高山的距离为355m.

2 化归转化思想

化归转化思想是指将复杂的数学问题转化为简单的形式，通过适当的变换和化简，使问题更易于理解和解决.这种思想要求学生具备灵活的思维和良好的逻辑推理能力，能够将问题分解为更小的部分并找到解决方案.

例2 如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC为18cm，AB为24cm，BC为30cm，点P、点Q同时从点C出发，点P以2cm/s的速度沿C→B→A的方向移动，点Q以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，当点P到达点A或者点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，用t（s）表示移动时间.

（1）若点Q在边AC上时，请用含t的代数式表示线段AQ的长度；

（2）当t为何值时，△BCQ的面积为180cm2？

解 （1）当点P到达点A或者点Q到达点B时，两点停止运动.根据题目给出的条件，我们可以推导出点P和点Q到达终点的时间范围0≤t≤27.

若点Q在边AC上时，我们需要用含t的代数式表示线段AQ的长度.根据题意，当0≤t≤18时，点Q在边AC上，因此线段AQ的长度为18－t.

（2）当△BCQ的面积为180cm2时，需要找到t的取值.

①如图3，当0≤t≤18时，点Q在AC上，此时△BCQ的面积为12×t×24=180，解得t=15.

②如图4，当18<t≤27时，点Q在AB上，此时AQ=t－AC=t－18，BQ=AB－AQ=24－（t－18）=42－t.

此时△BCQ的面积为12×（42－t）×18=180，解得t=22.

综上所述，当t=15或22时，△BCQ的面积为180cm2.这种题目需要通过分析点的运动轨迹、计算面积等方法来求解，同时需要考虑速度、距离和时间的关系.

3 函数思想

函数思想是指将数学问题中的变量和关系抽象为函数的形式，利用函数的性质和图象分析来解决问题.函数思想在数学中具有重要的地位，能够帮助学生建立数学模型，预测结果并进行推理.

例3 表1是中国电信推出的两种移动电话计费方式，请说明选择哪种计费方式更省钱？

解这道题目涉及比较两种移动电话计费方式的省钱情况，需要通过建立函数模型来分析.

方式A月租费30元，通话费0.3元每分钟；方式B月租费0元，通话费0.4元每分钟.设通话时间为x分钟，每月的电话费为y元.根据题目给出的信息，我们可以建立两种计费方式的电话费用表达式：

方式A的电话费用为y1=0.3x+30元；

方式B的电话费用为y2=0.4x元.

根据题目的设计意图，我们可以通过比较两种方式的电话费用来选择更省钱的方式：

当0≤x<300时，y1>y2，选择方式B更省钱；

当x=300时，y1=y2，两种方式一样；

当x>300时，y1<y2，选择方式A更省钱.

通过建立函数模型、比较函数值大小以及对通话时间的分类讨论，可以帮助人们选择更省钱的移动电话计费方式.这种问题的解决方法体现了函数模型思想，引导学生在实际问题中应用数学方法进行分析和选择.

4 结语

综上所述，研究数学思想方法在初中数学解题中的应用具有重要的理论和实践意义，有助于促进学生数学思维能力的发展，提高他们的数学学习水平，推动数学教育的发展.

参考文献：

[1]徐岩.特殊与一般思想在初中数学解题中的应用[J].中学数学，2023（24）：51-52.

[2]张丹丹.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].数学之友，2022，36（11）：55-57.

[3]包庆华.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].数学学习与研究，2023（31）：113-115.