分式混合运算的几种技巧

【摘要】 分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化，运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果.本文结合几则典例，从四个方面作分析探讨，以帮助学生突破难点，提高学生的解题能力.

【关键词】分式；混合运算；初中数学

分式的混合运算，是初中代数中经常出现的一类问题.常言道：“得道多助，失道寡助.”解题中的“道”是指解题方法.分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果.那么，分式混合运算之“道”有哪些？

1 改变运算符号

在分式运算中，当两个分母互为相反数的分式相加减时，只需把其中一个分式分母的运算符号提取出来，变成同分母分式进行加减即可.

例1 化简：x2x－1+11－x－1.

解析 原式=x2x－1－1x－1－1=x2－1x－1－1=x+1－1=x.

点评 本题经过提取负号，就已经完成了通分这一步骤，所以使运算变得简捷了.

2 适当拆分

当某些分式的分母具有一定的规律时，通常可以把它拆分成两个分式相减的形式，然后经过正负抵消求出答案.

例2 对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下：a☆b=a－b2ab，则2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017= .

解析 本题是个新定义计算问题，先把新定义问题转化为普通运算问题.

2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017

=2－12×2×1+3－22×3×2+…+

2017－20162×2017×2016+2018－20172×2018×2017

=12（12+13×2+…+12017×2016+

12018×2017）

=12（1-12+12-13+13-14…+12017-12018）

=12-14036

=20174036.

点评 本题将一项裂为两项，即1n（n+1）=1n－1n+1，然后通过前后正负抵消求得答案.类似的有1n·n+2=12（1n－1n+2），1n（n+1）（n+2）=12（1n（n+1）－1（n+1）（n+2）），2n+1［n（n+1）］2（n+1）2－n2n2·（n+1）2=1n2－1（n+1e852d0386013d2296159ce9d93258d731f0f3ae6864668450c783793baaabee4）2等.

3 换元法

当某些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同时，不妨把某一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母代替它进行运算，这就是换元法，换元之后再进行运算，往往起到简化运算的效果，不过最后还需再替换过来.“新元”起到了桥梁作用.换元法体现了数学解题的整体思想.

例3 当x=2，y=1时，

计算y2x2+x2y2+2y3x3－x3y3－3（yx－xy）÷yx+xyy2x2+x2y2－2的值.

解析 先化简再求值.本题如果直接去计算，计算量非常大.仔细观察题目特征，我们可以发现分式的分子和分母中都含有yx，xy，因此想到可以采用换元法，用字母a，b来代替它们，简化运算，从而大大地提高了运算速度，不过最后莫忘还要再替换回来.

设yx=a，xy=b，则ab=1，

于是原式=a2+b2+2aba3－b3－3ab（a－b）÷

a+ba2+b2－2ab

=（a+b）2（a－b）3÷a+b（a－b）2

=（a+b）2（a－b）3·（a－b）2（a+b）=a+ba－b，

所以原式=yx+xyyx－xy=y2+x2xyy2－x2xy=y2+x2xy·xyy2－x2=y2+x2y2－x2.

所以当x=2，y=1时，

原式=12+2212－22=－53.

点评 对于已知条件下的分式混合运算求值问题，应该先把分式代数式化简，当式子中含有某个相同的多项式时，先换元再化简往往会起到简化运算的效果.

4 因式分解法

对于有些分式的分子与分母是多项式时，直接无法运算或运算很繁琐，这时为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律进行约分，也能起到简化运算的效果.例如：1x+3+1x－3+x+9x2－9=x－3+x+3x2－9+x+9x2－9

=3（x+3）（x+3）（x－3）=3x－3.

下面再举一例.

例4 计算： b－ca2－ab－ac+bc－c－ab2－bc－ab+ac+a－bc2－ac－bc+ab.

解析 既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图观察其中一项，从中发现规律.

b－ca2－ab－ac+bc=b-c（a－b）（a－c）=（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）=1a－b－1a－c，

因此不难看出，拆项后通分更容易.

所以原式＝b－c（a－b）（a－c）－c－a（b－c）（b－a）+a－b（c－a）（c－b）

＝（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）－（b－a）－（b－c）（b－c）（b－a）+（c－b）－（c－a）（c－a）（c－b）

＝1a－b－1a－c－1b－c+1b－a+1c－a－1c－b=2c－a

点评 在本题运算中，当分子分母进行因式分解后，才发现规律，否则会无从下手.

5 结语

总之，分式运算方法有多种，我们在分式的实际运算中，要学会仔细观察，认真思考，反复推敲，善于归纳，寻找规律，这样才能准确迅速地计算出结果来.

参考文献：

[1]熊莉.因式分解助力分式运算[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2022（12）：9.

[2]邹兴平.分式运算中的常用技巧[J].初中生天地，2017（35）：45-46.

[3]万广磊.分式中考题面面观[J].初中生世界，2014（22）：53-54.