含参数的一元一次不等式（组）的解法探讨

【摘要】 本文通过详细的分析和实例讲解，阐述处理含参数的一元一次不等式（组）问题的方法和关键要点．重点关注参数对不等式解集的影响，以及如何根据条件确定参数的取值范围，为解决相关数学问题提供系统的思路和方法．

【关键词】参数；一元一次不等式组；解题方法

在数学教学中，一元一次不等式（组）是基础且重要的内容．而含参数的一元一次不等式（组）则增加了问题的复杂性和灵活性，需要更深入地理解不等式的性质和运算规则，以准确求解参数的取值范围，从而得出不等式（组）的解集．

1 根据一个参数条件求解另一个参数最值

例1 若满足不等式815<nn+k<713的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（ ）

（A）100． （B）112．

（C）120． （D）150．

解析 由已知不等式得815<nn+k<713，67<kn<78，6n7<k<7n8．因由已知条件，6n7与7n8之间只有唯一一个整数k，所以7n8-6n7≤2解得n≤112．当n=112时，96≤k≤98，存在唯一k=97，所以n的最大值为112．故应选（B）．

点评 根据不等式的性质将不等式变形，根据k只有一个的条件求解n的范围，进而得到n的最值．解决含参数的一元一次不等式（组）的步骤是：将不等式中的参数视为常数，按照解一元一次不等式的常规方法进行变形求解，然后根据已知条件或不等式的解集，分析参数对解集的影响．

2 根据不等式组的整数解情况探讨参数情况

例2 如果不等式组9x－a≥08x－b<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序整数对a，b共有（ ）

（A）17个． （B）64个．

（C）72个． （D）81个．

解析 因x≤a9x<b8中x的整数值仅为1，2，3，所以即0<a≤9，24<b≤32，故a可取1，2，…，9这9个值，b可取25，26，…，32这8个值，所以有序对a，b有8×9=72个．故选（C）．

点评 本题中，知道不等式组的整数解，进而列出含参数的不等式，分别确定各参数的值即可得到有序对的个数．

3 根据不等式组的整数解求解参数范围

例3 已知m，n与代数式am－bn+1的值的对应关系如表1．

（1）根据表中信息，求a，b的值；

（2）若关于x的不等式组ax－b·x－3<83a－b·－2x+1&lt;t

有且只有一个整数解，求t的取值范围．

解析 （1）依据表1中数据可得：

3a－b+1=44a+b+1=12，

解得：a=2b=3．

（2）由（1）得：

2x－3x－3<83×2－3×－2x+1<t，

解不等式2x－3x－3<8，

得x>1，

解不等式3×2－3×－2x+1<t，

得：x<t－76，

由不等式组有且只有一个整数解，

得2<t-76≤3，

解得：19<t≤25．

点评 本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组，以及根据不等式组的解的情况求参，解题的关键是正确求解方程组和不等式组，理解不等式组解的情况．第（2）问中，分别求解不等式，结合不等式组的解的情况得到关于t的不等式，求解即可．

4 绝对值不等式中参数最值的求解

例4 若不等式2x－1+3x－3<a有解，则实数a的最小值是 .

解析 ①当x<1时，x－1<0，x－3<0，

2x－1+3x－3=－2x－1－3x－3=－5x+11<a，

解得x>11－a5，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以11－a5<1，

解得a>6.

②当1≤x≤3时，

x-1≥0，x-3≤0，

2x－1+3x－3=2x－1－3x－3=－x+7<a，

解得x>7－a，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以7-a≤3，

解得a≥4.

③当x>3时，

x－1>0，x－3>0，

2x－1+3x－3=2x－1+3x－3=5x－11<a，

解得x<11+a5，

不等式2x－1+3x－3<a有解，

所以11+a5>3，

解得a>4.

综上所述，若不等式2x－1+3x－3<a有解，则a≤4，即实数a的最小值是4．

点评 本题考查绝对值的代数意义以及含参数不等式的解法，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案．当然，熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．

5 结语

含参数的一元一次不等式（组）是数学中的重要内容，通过对其解法的深入探讨，掌握处理这类问题的基本方法和关键技巧．在解题过程中，需要充分运用不等式的性质，仔细分析参数对解集的影响，灵活确定参数的取值范围．通过不断地练习和总结，能够提高学生解决这类问题的能力，为进一步学习数学知识和解决实际问题奠定坚实的基础．

参考文献：

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